Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
michaljst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Post autor: michaljst » 3 sty 2019, o 18:00

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie
i czy rozwiazanie jest dokładnie jedno. Jezeli istnieje rozwiazanie to
nalezy je wyznaczyc. W przypadku gdy jest wiecej niz jedno rozwiazanie
nalezy podac przykłady przynajmniej dwóch róznych rozwiazan.

\(ty''-y'= 0, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1\)

Proszę o pomoc

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy.

Post autor: bartek118 » 4 sty 2019, o 18:58

Podstaw \(z = y'\). Wówczas równanie sprowadza się do równania pierwszego rzędu
\(tz' - z = 0 \\ tz' = z\)
z warunkiem \(z(0) = 1\). Trzeba je rozwiązać (rozdzielanie zmiennych), a potem policzyć \(y\) z \(z= y'\).

michaljst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Post autor: michaljst » 4 sty 2019, o 19:33

Czyli coś takiego:
\(tz'=z\\\)

\(t\frac{dz}{dt}=z\\\)

\(\frac{1}{z}dz=\frac{1}{t}dt\\\)

\(\ln{z}=\ln{t}+c_{1}\\\)

\(z=te^{c_{1}}\\\)

\(z=c_{1}t\\\)

\(y=\int{c_{1}tdt}\\\)

\(y=c_{1}(\frac{t^2}{2}+c)\\\)

\(y=\frac{c_{1}t^2}{2}+c_{2}\\\)

Czyli odpowiedzia jest ze problem poczatkowy posiada rozwiazanie i jest ono tylko jedno?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy.

Post autor: bartek118 » 4 sty 2019, o 20:08

Zapomniałeś od początku o uwzględnianiu warunków początkowych. Rozwiązanie, którego poszukujesz nie istnieje.

Wychodzi \(z(t) = C t\), dla \(t = 0\) mamy \(z(0) = 0 \neq 1\).

Można to też zauważyć na początku, kładąc \(t = 0\) w równaniu. Wychodzi
\(-y'(0) = 0,\)
a powinno być \(y'(0)=1\).

michaljst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Post autor: michaljst » 5 sty 2019, o 15:03

Aaa rzeczywiście, dzięki wielkie!

ODPOWIEDZ