Równanie niejednorodne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równanie niejednorodne

Post autor: fluffiq » 3 sty 2019, o 17:09

Mam równanie i obliczam jego równanie jednorodne. Jak obliczyć równanie niejednorodne ?

\(t^{2}y'' + ty' + 4y =10t \\\)

\(t^{2}y'' + ty' + 4y = 10t \\ t^{2}y'' + ty' - 4y = 0 \\ y=t^r\\ r(r-1)+r+4=0\\ r^2+4=0\\ r_1=0+i2 \vee r_2=0-i2\\ y_o=t^0\left( C_1 \sin 2\ln t +C_2 \cos 2\ln t \right) =C_1 \sin 2\ln t +C_2 \cos 2\ln t\)

Prosiłbym o wytłumaczenie krok po kroku
Ostatnio zmieniony 3 sty 2019, o 17:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Równanie niejednorodne

Post autor: Janusz Tracz » 3 sty 2019, o 19:06

Proponuję zmienić kolejność podejścia do tego problemu. Podstawieniem \(t=e^x\) sprowadzisz to równanie do

\(\frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2}+4y=10e^x\)

A to rozwiązujemy już standardowo uzmienniając stałe na przykład... rozwiązania równania jednorodnego to \(\sin 2x\) oraz \(\cos 2x\) dlatego można teraz uzmiennić stałe \(C_1 \rightarrow C_1(t)\) oraz \(C_2 \rightarrow C_2(t)\) i rozwiązać

\(\begin{pmatrix} \sin 2x & \cos 2x \\ 2\cos 2x & -2\sin 2x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10e^x \end{pmatrix}\)

To po wyliczeniu i scałkowaniu pozawala zapisać, że

\(y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+2e^x\)

I jest to już rozwiązanie ogólne. Teraz trzeba tylko wrócić do zmiennej \(t\) czyli \(x=\ln t\) to daje

\(y=C_1\cos \left( 2\ln t\right) +C_2\sin \left( 2\ln t\right) +2t\)

i jest to ogólne rozwiązanie równania z zadania.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie niejednorodne

Post autor: kerajs » 3 sty 2019, o 21:40

Proponowałbym metodę przewidywania:
\(y_s=At+B \Rightarrow y'_s=A \Leftrightarrow y''_s=0\\ t^2 \cdot 0+t \cdot A+4 \cdot (At+B)=10t\\ 5At+4B=10t \Rightarrow A=2 \wedge B=0\\ y=y_o+y_s=...\)

Uzmiennianie stałych także można zrobić z postaci podanej w temacie, lecz z równaniem różniczkowym zmodyfikowanym do postaci:
\(y''+ \frac{1}{t}y'+ \frac{4}{t^2}y= \frac{10}{t}\)

ODPOWIEDZ