Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{A}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą skończoną. Niech \(\displaystyle{ \{f_n\}_{n \ge 1}}\) jest ciągiem funkcji skończenie całkowalnych zbieżnym jednostajnie do funkcji \(\displaystyle{ f}\). Sprawdzić, że f jest funkcją skończenie całkowalną oraz

\(\displaystyle{ \center{ \int_{X} f d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_{X} f_n d\mu}}\)

To, że jest skończenie całkowalną udało mi się zrobić, problem mam z drugą częścią. Chciałem to zrobić z twierdzenia, że każda funkcja mierzalna nieujemna jest granicą punktową niemalejącego ciągu funkcji prostych, w sensie rozbić \(\displaystyle{ f_n}\) na \(\displaystyle{ f_n^+}\) i \(\displaystyle{ f_n^-}\), tak samo funkcję f, i wziąć ciągi \(\displaystyle{ \{\varphi_{n,i}^+\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{\varphi_{n,i}^-\}}\) \(\displaystyle{ \varphi_{n,i}^+ , \varphi_{n,i}^- \in \mathcal{G}_+}\), takie że \(\displaystyle{ \varphi_{n,i}^+ \le \varphi_{n,i+1}^+}\) , \(\displaystyle{ \varphi_{n,i}^- \le \varphi_{n,i+1}^-}\) , \(\displaystyle{ \lim_{i \to \infty}\varphi_{n,i}^+ =f_n^+}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{i \to \infty}\varphi_{n,i}^- =f_n^-}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \lim_{ i\to \infty}\varphi_{n,i}^+=f^+}\) i\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \lim_{ i\to \infty}\varphi_{n,i}^-=f^-}\), ale z tego nie wynika, że \(\displaystyle{ \varphi_{n,i}^+ \le \varphi_{n+1,i}^+}\) , \(\displaystyle{ \varphi_{n,i}^- \le \varphi_{n+1,i}^-}\) i w tym momencie się zaciąłem. Innego pomysłu na to zadanie nie mam. Znaczy myślałem jeszcze o tym, że \(\displaystyle{ \int_{X}f d\mu = sup \{\int_{X}\varphi d\mu : \varphi\in\mathcal{G}_+ \wedge \varphi \le f\}}\), ale z tego kompletnie nie wiem jak wyjść. Macie może jakieś rady? Może całkiem nie w tym kierunku idę?

Pozdrawiam!

A przez oszacowanie nie pójdzie ?

Skoro \(\displaystyle{ \left( f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}}\) jest jednostajnie zbieżny do \(\displaystyle{ f}\) i miara \(\displaystyle{ \mu}\) jest skończona to,

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \sup_{x\in X } \left| f_n(x)-f(x)\right| =0}\)

Dalej:

\(\displaystyle{ \left| \int_X f_n(x) d\mu- \int_X f(x) d\mu \right| \le \int_X \left| f_n(x)-f(x)\right|d\mu \le \sup_{x\in X }\left| f_n(x)-f(x)\right| \mu (X)}\)

\(\displaystyle{ \mu (X) < \infty}\) bo \(\displaystyle{ \mu}\) jest skończona. Więc Przechodząc do granicy dostaniemy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \left| \int_X f_n(x) d\mu- \int_X f(x) d\mu \right|=0}\)

Będąc szczerym wciąż nie widzę po tym pełnego rozwiązania. To chyba nie do końca mówi nam o tym, że \(\displaystyle{ \int_{X}f d\mu= \lim_{n \to\infty } \int_{X}f_n d\mu}\). Trochę nad tym posiedziałem jeszcze i się zastanawiam, czy dałoby radę to zrobić z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej? \(\displaystyle{ f_n}\) jak i \(\displaystyle{ f}\) są skończenie całkowalne, czyli możemy założyć, że istnieje funkcja \(\displaystyle{ g}\), taka że \(\displaystyle{ \forall_{n \ge 1} |f_n| \le g}\) dla \(\displaystyle{ \mu}\) p.w. Zbieżność jednostajna pociąga za sobą od razu warunek \(\displaystyle{ f_n \rightarrow f}\) \(\displaystyle{ \mu}\) p.w. Czy coś takiego wchodziłoby w grę? Czy coś jeszcze potrzeba?

Będąc szczerym wciąż nie widzę po tym pełnego rozwiązania

Kordyt rozwiązał to zadanie - popatrz na ostatnią linijkę.

. Zbieżność jednostajna pociąga za sobą od razu warunek f_n
ightarrow f mu p.w. Czy coś takiego wchodziłoby w grę? Czy coś jeszcze potrzeba?

Wchodzi w grę - tylko musisz pokazać itnienie takiej funkcji \(\displaystyle{ g}\)

Hint : nigdzie nie skorzystałeś ze skończoności miary i tego, że ciąg jest zbieżny jednostajnie