Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
whatsup1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 17 paź 2018, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: whatsup1 » 31 gru 2018, o 01:08

Na mojej uczelni używa się następującego wzoru:

\(\displaystyle{ y_{sn} = x ^{j} \cdot e ^{ \alpha x} \left[ \left( \sum_{s}^{i =0} A _{i} \cdot x ^{i} \right) \cos \left( \beta x \right) + \left( \sum_{s}^{i =0} A _{i} \cdot x ^{i} \right) \sin \left( \beta x \right) \right]}\)

Przykładowo gdy \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2 + 3}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \alpha = 0, \beta = 0, s = \max}\)(stopnie wielomianu przy cosinusie i sinusie),
Tylko nie wiem czym jest \(\displaystyle{ "j"}\), i tu jest problem. Mam nadzieję, że czegoś nie pomieszałem.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2018, o 17:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: szw1710 » 31 gru 2018, o 10:40

Niech \(\displaystyle{ z=\alpha+\beta i}\) będzie stałą kontrolną. Wtedy \(\displaystyle{ j}\) jest krotnością liczby \(\displaystyle{ z}\) jako pierwiastka równania charakterystycznego. Przy tym, jeśli \(\displaystyle{ z}\) nie jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ j=0}\) (tzn. \(\displaystyle{ z}\) jest wtedy pierwiastkiem zero-krotnym).

whatsup1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 17 paź 2018, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: whatsup1 » 31 gru 2018, o 20:54

Dzięki, mam jeszcze jedno pytanie
Czy istnieje jakiś ogólny wzór na rozwiązanie ogólne jednorodne? bo mam równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ k ^{3} - 3k^{2} + 3k + 2 =0 \Rightarrow k = 1 - \sqrt[3]{3}}\) - wolfram pokazuje rozwiązanie z 3 stałymi

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: szw1710 » 1 sty 2019, o 16:02

Wzór ogólny jest chyba zbyt skomplikowany, żeby w ogóle go szukać. Jest wiele przypadków w budowie układu fundamentalnego. Ale i tak trzeba by znać wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego. Same zaś zasady budowy układu fundamentalnego są bardzo proste.

whatsup1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 17 paź 2018, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: whatsup1 » 1 sty 2019, o 20:19

To jak w takim razie rozwiązać to równanie?:
\(\displaystyle{ y ^{(3)} -3y '' + 3y ' +2 = 0}\)
Ostatnio zmieniony 1 sty 2019, o 22:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: szw1710 » 1 sty 2019, o 21:16

Podaj pierwiastki równania charakterystycznego.

whatsup1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 17 paź 2018, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: whatsup1 » 1 sty 2019, o 23:47

Rzeczywiste: \(\displaystyle{ k_{1}= 1 - \sqrt[3]{3}}\)
Zespolone(tutaj mogłem się pomylić):
\(\displaystyle{ k_{2} = 1 + \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{i 3^{ \frac{5}{6} } }{2}}\)
\(\displaystyle{ k_{3} = 1 + \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{i 3^{ \frac{5}{6} } }{2}}\)

Czyli rozwiązanie jednorodne będzie następującej postaci?
\(\displaystyle{ y = C_{1}e ^{(1- \sqrt[3]{3})x } +e ^{(1 + \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} )}(C_{2}\cos(3 ^{ \frac{5}{6}}: 2) + C_{3}\sin(3 ^{ \frac{5}{6}}: 2))}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Objaśnienie wzoru na CSRNJ

Post autor: kerajs » 2 sty 2019, o 11:55

whatsup1 pisze:Czyli rozwiązanie jednorodne będzie następującej postaci?
\(\displaystyle{ y = C_{1}e ^{ \left( 1- \sqrt[3]{3} \right) x } +e ^{ \left( 1 + \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \right) } \left( C_{2}\cos \left( 3 ^{ \frac{5}{6}}: 2 \right) + C_{3}\sin \left( 3 ^{ \frac{5}{6}}: 2 \right) \right)}\)
Prawie.
O ile \(\displaystyle{ x}\) faktycznie jest argumentem Twojego równania to:
\(\displaystyle{ y = C_{1}e ^{ \left( 1- \sqrt[3]{3} \right) x } +e ^{ \left( 1 + \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \right) x} \left( C_{2}\cos \left( \frac{ \sqrt[6]{3^5} }{2} x \right) + C_{3}\sin \left( \frac{ \sqrt[6]{3^5} }{2} x \right) \right)}\)
Ostatnio zmieniony 2 sty 2019, o 12:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ