dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: july04 » 28 gru 2018, o 22:38

Nie wiem jak udowodnić że wartośc minimalna wynosi 2 a największa 4 nastepującej funkcji

\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: piasek101 » 28 gru 2018, o 22:42

Pochodne były ?

[edit] Jak były to szukać zbioru wartości stosując pochodną.

Jak nie to sprawdzić dla jakich (a) istnieje rozwiązanie równania :
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=a}\)

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2505
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 352 razy

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: Dilectus » 28 gru 2018, o 22:54

Trzeba zbadać ekstrema tej funkcji, monotoniczność i granice na krańcach przedziałów określoności.

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)

Zacznijmy od dziedziny - jest nią zbiór liczb rzeczywistych.

Granice:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) =......}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to - \infty} f(x) =......}\)

Teraz ekstrema - to punkty, w których pierwsza pochodna zmienia znak.

A więc liczysz:

\(\displaystyle{ f'(x)=....}\)

Przyrównujesz ją do zera:

\(\displaystyle{ f'(x)= 0 \Leftrightarrow x=......}\)

Pamiętaj też, że funkcja jest rosnąca tam, gdzie jej pierwsza pochodna jest dodatnia, a maleje tam, gdzie jest ona ujemna.

Przedstaw swoje obliczenia.

july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: july04 » 28 gru 2018, o 23:30

To zadanie z 1 klasy liceum- za wcześnie na pochodne. Szukam własnie bardziej algebraicznej metody.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14385
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: Premislav » 28 gru 2018, o 23:56

\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=3+\frac{2x}{x^2+1}}\)
i teraz udowodnij, że
\(\displaystyle{ -1\le \frac{2x}{x^2+1}\le 1}\), mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), przenosząc na jedną stronę i zwijając do kwadratu różnicy czy tam sumy ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 / a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\).
Równość w nierówności z lewej zachodzi dla \(\displaystyle{ x=-1}\), a w tej nierówności z prawej dla \(\displaystyle{ x=1}\), to tak kontrolnie.

Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 14 razy

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: VirtualUser » 29 gru 2018, o 10:56

Dodam od siebie, że \(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=3+\frac{2x}{x^2+1}}\) wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}= \frac{3(x^{2}+1)+2x}{x^{2}+1} = \frac{3(x^{2}+1)}{x^{2}+1} + \frac{2x}{x^{2}+1}= 3+\frac{2x}{x^2+1}}\) bo nie zawsze przykłady są takie, że od razu widać jak poszachermacherować te ułamki by można się pozbyć pewnych elementów

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: arek1357 » 29 gru 2018, o 11:25

Nie wiem ale z całym szacunkiem strasznie komplikujecie mnie uczyli, że wystarczy zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \ge 2}\)

po wymnożeniu przez mianownik a można bo większy od zera i skróceniu mamy:

\(\displaystyle{ (x+1)^2 \ge 0}\)

co jest prawdą, wystarczy tylko wskazać liczbę \(\displaystyle{ x=-1}\) gdzie wartość osiąga zero i po sprawie.

Podobnie drugi przypadek:

\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \le 4}\)

otrzyma:

\(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 4}\)

co jest prawdą i zeruje się dla.: \(\displaystyle{ x=1}\)

czyli osiąga extremum...

Jeżeli pokaże Pani swojej takie rozwiązanie na pewno dostanie piątkę i pochwałę...

Wszystkie inne rozwiązania będą świadczyły, że nie są samodzielne i może zostać upomniany a nawet znieważony...

Z całym szacunkiem ...

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14385
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej

Post autor: Premislav » 29 gru 2018, o 11:38

Przecież to na jedno wychodzi… Komplikowanie sprawy to wcześniej sugerowane użycie pochodnej.

ODPOWIEDZ