Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1

Post autor: fluffiq » 27 gru 2018, o 17:05

Następujący układ równań rozwiązać metodą operatorową lub sprowadzając je do układów równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej.

\(\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwiązać metoda operatorowa

Post autor: Premislav » 28 gru 2018, o 00:08

Skorzystamy ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:
\(\mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)\)
Transformujemy stronami oba równania układu
\(\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\),
dla uproszczenia zapisu oznaczam \(X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}\):
\(\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) = \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t \end{cases}\)
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\(\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}\)
a więc
\(\begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}\)
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\(\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)\)
Następnie przydałaby się nam macierz
\(\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1}\),
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\(\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)\)
Równość \((*)\) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\(\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)\)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Re: Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1

Post autor: fluffiq » 3 sty 2019, o 19:16

Rozmawiałem z prowadzącym, powiedział żeby spróbować ta druga metodą. A nie bardzo wiem jak.

Zrobiłem to tak:
\(\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\)

\(x = -t + y' - x'\)
\(y = 1 - y' - x'\)
\(\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-1 &1\\-1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-t\\1\end{array}\right)\),

\(V = A \cdot V'\)
\(V' = A^{-1} \cdot V - b\)

\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right)\)


\(V_{p}(t) = \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right) = V'_{p}(t) -\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) V_{p}(t)\)

\(\frac{\partial \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr] }{\partial t} - \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr]\)

\(\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) - \Biggr[\left(\begin{array}{cc}-\frac{x}{2} - \frac{y}{2}\\\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{cc}\frac{-a}{2} - \frac{b}{2}\\\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\end{array}\right) \Biggr]\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\\-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc}x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2}\\y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\end{array}\right)\)

\(\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 \\ -\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0 \end{cases}\)

Dodaję stronami i wychodzi:

\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}\)

Póżniej:

\(\begin{cases} x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2} = 0 \\ y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2} = -1 \end{cases}\)

Po dodaniu stronami i wykorzystaniu wczesniejszych rozwiazań:

\(\begin{cases} a = 1 \\ b = -3 \end{cases}\)

Z tego wychodzi mi:

\(V_{p}t = \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)\)

\(V' = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)\)

\(\beta = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)\)

\(V' = \beta V\)

\(\frac{dV}{V} = \beta dt\)

\(\ln{|V|} = \beta t + C\)
\(|V| = e^{\beta t} e^{C}\)
\(V \pm e^{C} e^{\beta t}\)
\(V_{h} = ke^{\beta t}\)

\(V = V_{h} + V_{p}\)
\(V = ke^{\beta t} + \Biggr[ \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)\Biggr]\)

\(k \in \Re\)

Co myślicie o tym rozwiązaniu? Prowadzacy powiedział że jest prawie dobrze, ale żebym się przyjrzał lepiej. Co tutaj należałoby poprawić?

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Re: Rozwiązać metoda operatorowa

Post autor: fluffiq » 10 sty 2019, o 23:16

[quote="Premislav"]Skorzystamy ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:
\(\mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)\)
Transformujemy stronami oba równania układu
\(\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\),
dla uproszczenia zapisu oznaczam \(X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}\):
\(\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) = \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t \end{cases}\)
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\(\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}\)
a więc
\(\begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}\)
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\(\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)\)
Następnie przydałaby się nam macierz
\(\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1}\),
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\(\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)\)
Równość \((*)\) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\(\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)\)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).[/quote]

Ktoś ma jakiś pomysł jak rozwiązać

\({\cal L}^{-1} \left[ \left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right) \right]\) ?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1

Post autor: mariuszm » 23 sty 2019, o 14:26

\(\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\\ x'=-x+y'-t\\ y'=-x'-y+1\\ \begin{cases} x' +x - (-x'-y+1) = -t \\ (-x+y'-t) + y' + y = 1 \end{cases}\\ \begin{cases} 2x'+x+y=1-t \\ 2y'-x+y=1+t \end{cases}\\ \begin{cases} 2x'=-x-y+1-t \\ 2y'=x-y+1+t \end{cases}\\ \begin{cases} x'=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \\ y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t \end{cases}\\\)

ODPOWIEDZ