Zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie

Post autor: maritka210 » 27 gru 2018, o 13:20

W poniższych zadaniach zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie i czy rozwiązanie jest dokładnie jedno. Jeżeli istnieje rozwiązanie to należy go wyznaczyć. W przypadku gdy jest więcej niż jedno rozwiązanie należy podać przykłady conajmniej dwóch różnych rozwiązań

Nie wiem jak sie za to zabrac nawet.

\(y'' + 4y = -5sin(2t) + 3cos(2t), y(0) -1, y'(0) = 1\)

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie

Post autor: bartek118 » 27 gru 2018, o 15:09

To jest równanie liniowe. Najpierw rozwiązujemy równanie
\(y'' + 4y = 0\)
korzystając z wielomianu charakterystycznego \(\lambda^2 + 4 = 0\), a potem korzystamy z metody przewidywań.

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie

Post autor: maritka210 » 27 gru 2018, o 16:56

\(y'' + 4y = -5sin(2t) + 3cos(2t), y(0) = -1, y'(0) = 1\)

\(\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 4y(t) = 3cos(2t) -5sin(2t)\)

\(\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 4y(t) = 0\)

\(y(t) = e^{\lambda t}\)

\(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(e^{\lambda t}) + 4e^{\lambda t} = 0\)

\(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(e^{\lambda t}) = \lambda^{2}e^{\lambda t}\)

\(\lambda^{2}e^{\lambda t} + 4e^{\lambda t} = 0\)

\((\lambda^2 + 4)e^{\lambda t} = 0\)

\(e^{\lambda t} \neq 0\)

\(\lambda^{2} +4 =0\)

\(\lambda = 2i \lor \lambda = -2i\)

\(\lambda = \pm 2i\)

\(y_{1}(t) = c_{1}e^{2it}\)

\(y_{2}(t) = c_{2}e^{-2it}\)

\(y(t) = y_{1}(t) + y_{2}(t) = c_{1}e^{2it} + c_{2}e^{-2it}\)

\(e^{ \alpha +i \beta } = e^{ \alpha }cos( \beta ) +ie^{ \alpha }sin( \beta )\)

\(y(t) = c_{1}(cos(2t)+isin(2t)) + c_{2}(cos(2t)-isin(2t))\)

\(y(t) = ( c_{1} + c_{2} )cos(2t) + i( c_{1} - c_{2} )sin(2t)\)

\(c_{1} = c_{1} + c_{2}\)

\(c_{2} = i( c_{1} - c_{2} )\)

\(y(t) = c_{1}cos(2t) + c_{2}sin(2t)\)

\(\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} +4y(t) = 3cos(2t) - 5sin(2t)\)

\(y_{p}(t) = t(a_{1}cos(2t) a_{2}sin(2t))\)

\(\frac{d^{2}y_{p}(t)}{dt^{2}} = \frac{d^2}{dt^2}(a_{1}tcos(2t) + a_{2}tsin(2t)) = -4a_{1}tcos(2t) - 4a_{1}sin(2t) + 4a_{2}cos(2t) - 4a_{2}sin(2t)\)

\(\frac{d^{2}y_{p}(t)}{dt^{2}} + 4y_{p}(t) = 3cos(2t) - 5sin(2t) -4a_{1}tcos(2t)-4a_{1}sin(2t)+ 4a_{2}cos(2t)-4a_{2}tsin(2t) + 4(a_{1}tcos(2t)+a_{2}tsin(2t)) = 3cos(2t) - 5sin(2t)\)

\(4a_{2}cos(2t) - 4a_{1}sin(2t) = 3cos(2t) - 5sin(2t)\)

\(4a_{2} = 3\)

\(-4a_{1} = -5\)

\(a_{1} = \frac{5}{4}\)

\(a_{2} = \frac{3}{4}\)

\(y_{p}(t) = tcos(2t)a_{1} + tsin(2t)a_{2}\)

\(y_{p}(t) = \frac{5}{4}tcos(2t) + \frac{3}{4} tsin(2t)\)

\(y(t) = y_{c}(t) + y_{p}(t) = \frac{5}{4}tcos(2t)a_{1} + \frac{3}{4} tsin(2t) + c_{1}cos(2t) + c_{2}sin(2t)\)

\(\frac{dy(t)}{dt} = \frac{d}{dt} ( \frac{5}{4}tcos(2t) + \frac{3}{4} tsin(2t) + c_{1}cos(2t) + c_{2}sin(2t) )\)-- 27 gru 2018, o 17:10 --\(= \frac{5}{4} cos(2t) + \frac{3}{2} tcos(2t) + \frac{3}{4}sin(2t) - \frac{5}{2} tsin(2t) - 2c_{1}sin(2t) +2c_{2}cos(2t)\)

\(y(0) = -1\)

\(\frac{dy(t)}{dt} = \frac{5}{4} cos(2t) + \frac{3}{2}tcos(2t) + \frac{3}{4} sin(2t) - \frac{5}{2}tsin(2t) - 2sin(2t)c_1 + 2cos(2t)c_{2}\)

\(2c_{2} + \frac {5}{4} = 1\)

\(c_{1} = -1\)

\(c_{2} = -\frac {1}{8}\)

\(y(t) = \frac{5}{4} tcos(2t) + \frac {3}{4} tsin(2t) + cos(2t)c_{1} + sin(2t)c_{2}\)

\(y(t) = \frac{1}{8}(2cos(2t)(5t - 4) + (6t - 1) sin(2t))\)

Co o tym myślisz?

ODPOWIEDZ