układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a

Post autor: maritka210 » 27 gru 2018, o 13:19

Rozwiązać równanie lub układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a


\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll} x'' + x -y = 0 \\ y'' + y -x = 0\\ x(0) = 0, y(0) = 0, x'(0) = -2, y'(0) = 1 \end{array} \right.}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a

Post autor: janusz47 » 27 gru 2018, o 20:40

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ll} x'' + x -y = 0 \\ y'' + y -x = 0\\ x(0) = 0, y(0) = 0, x'(0) = -2, y'(0) = 1 \end{array} \right.}\)

Z własności transformacji Laplace'a,

\(\displaystyle{ s^2X -s\cdot 0 +2 +X + Y = 0}\)

\(\displaystyle{ s^Y -s\cdot 0 -1 - X + Y = 0}\)

\(\displaystyle{ s^2 X +X + Y = -2 \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ s^2 Y - X + Y = 1 \ \ (2)}\)

Dodajemy stronami równania \(\displaystyle{ (1), (2)}\)

\(\displaystyle{ s^2(X+Y) = -1}\)

\(\displaystyle{ X + Y = -\frac{1}{s^2}}\)

\(\displaystyle{ Y = -X - \frac{1}{s^2} \ \ (3)}\)

Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (3)}\) do równania pierwszego

\(\displaystyle{ s^2X + X + X + \frac{1}{s^2} = -2}\)

\(\displaystyle{ s^2X+ 2X = -2 -\frac{1}{s^2}}\)

\(\displaystyle{ X(s^2 +2) = -2 -\frac{1}{s^2}}\)

\(\displaystyle{ X = \frac{-2}{s^2+2} - \frac{1}{s^2(s^2+2)} \ \ (4)}\)

Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (4)}\) do równania \(\displaystyle{ (3)}\)

\(\displaystyle{ Y = -\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s^2+2} + \frac{1}{s^2(s^2 +2)} \ \ (5)}\)

Znajdujemy oryginały transformat odpowiednio \(\displaystyle{ (4), (5),}\) korzystając z własności odwrotnego przekształcenia Laplace'a.

\(\displaystyle{ x(t) = \mathcal{L}^{-1}[X] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-2}{s^2+2} - \frac{1}{s^2(s^2+2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-2}{s^2+2}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{1}{s^2(s^2+2)}\right]}\)

\(\displaystyle{ x(t) = -\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}t) - \frac{1}{2}t + \frac{\sin(\sqrt{2}t)}{2\sqrt{2}}.}\)

\(\displaystyle{ y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y] = \mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s^2+2} + \frac{1}{s^2(s^2 +2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{1}{s^2}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2}{s^2+2}\right] +\\ + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2(s^2 +2)}\right]}\)

\(\displaystyle{ y(t) = -t + \sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t) +\frac{1}{2}t - \frac{\sin(\sqrt{2}t)}{2\sqrt{2}}= -\frac{1}{2}t +\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)- \frac{\sin(\sqrt{2}t)}{2\sqrt{2}}.}\)

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a

Post autor: maritka210 » 27 gru 2018, o 21:22

Dziękuje za wyjaśnienie zadania. Pozdrawiam

ODPOWIEDZ