Rozwiąż układ rownan transformata Laplace

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozwiąż układ rownan transformata Laplace

Post autor: fluffiq » 27 gru 2018, o 02:42

Rozwiązać układ równań przy użyciu transformaty Laplace’a.
\(\begin{cases} x' +y' -x = 1 \\ x' + 2y' = 0 \end{cases}\)
\(x(0) = 0 \\ \\ y(0) = 1\)


\(X(s)=L\{x(t)\}\)
\(Y(s)=L\{y(t)\}\)

\(L\{x'(t)\}=sX(s)-x(0)=sX(s)\)
\(L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1\)

\((s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac{1}{s}\)
\(sX(s)+2sY(s)=-2\)

Ale niestety nie wiem co dalej :/

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Rozwiąż układ rownan transformata Laplace

Post autor: janusz47 » 27 gru 2018, o 08:45

Wyznaczamy z \(X(s), Y(s)\) i ich transformaty odwrotne.

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Re: Rozwiąż układ rownan transformata Laplace

Post autor: fluffiq » 27 gru 2018, o 13:00

Czyli robię coś takiego?
\(sX(s)+2sY(s)=-2\)
\(sY(s)=-1-\frac{sX(s)}{2}\)
\((s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac1s\)
\((s-1)X(s) -1-\frac{sX(s)}{2} = 1 + \frac1s\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Rozwiąż układ rownan transformata Laplace

Post autor: janusz47 » 27 gru 2018, o 14:40

\(\begin{cases} (s-1)X(s) + sY(s) = \frac{1}{s}+ 1 \\ sX(s) + 2s Y(s) =-2 \end{cases}\)

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-2\) i dodajemy równania stronami:

\(-2(s -1)X(s)+sX(s) = -2 -\frac{2}{s} -2\)

\(-2sX(s)+2X(s)+sX(s) = -4 - \frac{2}{s}\)

\(2X(s)-sX(s) = -4 - \frac{2}{s}\)

\(-X(s)(s-2) = -4 -\frac{2}{s}\)

\(X(s)(s-2) = 4 +\frac{2}{s}\)

\(X(s) = \frac{4}{s-2} + \frac{2}{s(s-2)} = \frac{4}{s-2}- \frac{1}{s}+ \frac{1}{s-2} \ \ (1)\)

Podstawiamy równanie pierwsze na przykład do drugiego układu:

\(s\left( \frac{4}{s-2}+\frac{2}{s(s-2)} \right) +2Y(s) = -2\)

\(\frac{4s}{s-2} +\frac{2}{s-2} + 2Y(s) = -2\)

\(\frac{4s +2}{s+2} +2Y(s) = -2\)

\(2Y(s) = -2 -\frac{4s+2}{s - 2}\)

\(2Y(s) = \frac{-2s +4 -4s -2}{s-2}\)

\(2Y(s) = \frac{-6s +2}{s-2}\)

\(Y(s) = \frac{-6s +2}{2(s-2)}\)

\(Y(s) = \frac{-3s+1}{s-2} = -\frac{3s}{s-2} +\frac{1}{s-2} = -3\left(1 +\frac{2}{s-2}\right)+\frac{1}{s-2}\ \ (2)\)

Znajdujemy oryginały transformat \((1), (2)\), korzystając z własności addytywności i jednorodności odwrotnego przekształcenia Laplace'a.

\(x(t)=\mathcal{L}^{-1}[X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2} -\frac{1}{s} +\frac{1}{s-2)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}}\right]+\\ + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s-2}\right]\)

\(x(t) = 4e^{2t} -1 + e^{2t} = 5e^{2t} - 1.\)

\(y(t)=\mathcal{L}^{-1}[Y(s)] =\mathcal{L}^{-1}\left[-3\left(1+\frac{2}{s-2}\right) \right] + \frac{1}{s-2}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[ -3\left( 1+\frac{2}{s-2}\right)\right] +\\+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right]\)

\(y(t) = -3\delta(t) - 6e^{2t} +e^{2t} = -3\delta(t) - 5e^{2t}.\)

ODPOWIEDZ