Rozwiązać układ równań przy użyciu transformaty Laplace’a.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +y' -x = 1 \\ x' + 2y' = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x(0) = 0 \\ \\ y(0) = 1}\)
\(\displaystyle{ X(s)=L\{x(t)\}}\)
\(\displaystyle{ Y(s)=L\{y(t)\}}\)
\(\displaystyle{ L\{x'(t)\}=sX(s)-x(0)=sX(s)}\)
\(\displaystyle{ L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1}\)
\(\displaystyle{ (s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac{1}{s}}\)
\(\displaystyle{ sX(s)+2sY(s)=-2}\)
Ale niestety nie wiem co dalej :/
Rozwiąż układ rownan transformata Laplace
-
fluffiq
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Re: Rozwiąż układ rownan transformata Laplace
Czyli robię coś takiego?
\(\displaystyle{ sX(s)+2sY(s)=-2}\)
\(\displaystyle{ sY(s)=-1-\frac{sX(s)}{2}}\)
\(\displaystyle{ (s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac1s}\)
\(\displaystyle{ (s-1)X(s) -1-\frac{sX(s)}{2} = 1 + \frac1s}\)
\(\displaystyle{ sX(s)+2sY(s)=-2}\)
\(\displaystyle{ sY(s)=-1-\frac{sX(s)}{2}}\)
\(\displaystyle{ (s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac1s}\)
\(\displaystyle{ (s-1)X(s) -1-\frac{sX(s)}{2} = 1 + \frac1s}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Rozwiąż układ rownan transformata Laplace
\(\displaystyle{ \begin{cases} (s-1)X(s) + sY(s) = \frac{1}{s}+ 1 \\ sX(s) + 2s Y(s) =-2 \end{cases}}\)
Mnożymy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ -2}\) i dodajemy równania stronami:
\(\displaystyle{ -2(s -1)X(s)+sX(s) = -2 -\frac{2}{s} -2}\)
\(\displaystyle{ -2sX(s)+2X(s)+sX(s) = -4 - \frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ 2X(s)-sX(s) = -4 - \frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ -X(s)(s-2) = -4 -\frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s)(s-2) = 4 +\frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s) = \frac{4}{s-2} + \frac{2}{s(s-2)} = \frac{4}{s-2}- \frac{1}{s}+ \frac{1}{s-2} \ \ (1)}\)
Podstawiamy równanie pierwsze na przykład do drugiego układu:
\(\displaystyle{ s\left( \frac{4}{s-2}+\frac{2}{s(s-2)} \right) +2Y(s) = -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4s}{s-2} +\frac{2}{s-2} + 2Y(s) = -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4s +2}{s+2} +2Y(s) = -2}\)
\(\displaystyle{ 2Y(s) = -2 -\frac{4s+2}{s - 2}}\)
\(\displaystyle{ 2Y(s) = \frac{-2s +4 -4s -2}{s-2}}\)
\(\displaystyle{ 2Y(s) = \frac{-6s +2}{s-2}}\)
\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{-6s +2}{2(s-2)}}\)
\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{-3s+1}{s-2} = -\frac{3s}{s-2} +\frac{1}{s-2} = -3\left(1 +\frac{2}{s-2}\right)+\frac{1}{s-2}\ \ (2)}\)
Znajdujemy oryginały transformat \(\displaystyle{ (1), (2)}\), korzystając z własności addytywności i jednorodności odwrotnego przekształcenia Laplace'a.
\(\displaystyle{ x(t)=\mathcal{L}^{-1}[X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2} -\frac{1}{s} +\frac{1}{s-2)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}}\right]+\\ + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s-2}\right]}\)
\(\displaystyle{ x(t) = 4e^{2t} -1 + e^{2t} = 5e^{2t} - 1.}\)
\(\displaystyle{ y(t)=\mathcal{L}^{-1}[Y(s)] =\mathcal{L}^{-1}\left[-3\left(1+\frac{2}{s-2}\right) \right] + \frac{1}{s-2}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[ -3\left( 1+\frac{2}{s-2}\right)\right] +\\+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right]}\)
\(\displaystyle{ y(t) = -3\delta(t) - 6e^{2t} +e^{2t} = -3\delta(t) - 5e^{2t}.}\)
Mnożymy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ -2}\) i dodajemy równania stronami:
\(\displaystyle{ -2(s -1)X(s)+sX(s) = -2 -\frac{2}{s} -2}\)
\(\displaystyle{ -2sX(s)+2X(s)+sX(s) = -4 - \frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ 2X(s)-sX(s) = -4 - \frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ -X(s)(s-2) = -4 -\frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s)(s-2) = 4 +\frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s) = \frac{4}{s-2} + \frac{2}{s(s-2)} = \frac{4}{s-2}- \frac{1}{s}+ \frac{1}{s-2} \ \ (1)}\)
Podstawiamy równanie pierwsze na przykład do drugiego układu:
\(\displaystyle{ s\left( \frac{4}{s-2}+\frac{2}{s(s-2)} \right) +2Y(s) = -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4s}{s-2} +\frac{2}{s-2} + 2Y(s) = -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4s +2}{s+2} +2Y(s) = -2}\)
\(\displaystyle{ 2Y(s) = -2 -\frac{4s+2}{s - 2}}\)
\(\displaystyle{ 2Y(s) = \frac{-2s +4 -4s -2}{s-2}}\)
\(\displaystyle{ 2Y(s) = \frac{-6s +2}{s-2}}\)
\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{-6s +2}{2(s-2)}}\)
\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{-3s+1}{s-2} = -\frac{3s}{s-2} +\frac{1}{s-2} = -3\left(1 +\frac{2}{s-2}\right)+\frac{1}{s-2}\ \ (2)}\)
Znajdujemy oryginały transformat \(\displaystyle{ (1), (2)}\), korzystając z własności addytywności i jednorodności odwrotnego przekształcenia Laplace'a.
\(\displaystyle{ x(t)=\mathcal{L}^{-1}[X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2} -\frac{1}{s} +\frac{1}{s-2)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}}\right]+\\ + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s-2}\right]}\)
\(\displaystyle{ x(t) = 4e^{2t} -1 + e^{2t} = 5e^{2t} - 1.}\)
\(\displaystyle{ y(t)=\mathcal{L}^{-1}[Y(s)] =\mathcal{L}^{-1}\left[-3\left(1+\frac{2}{s-2}\right) \right] + \frac{1}{s-2}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[ -3\left( 1+\frac{2}{s-2}\right)\right] +\\+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right]}\)
\(\displaystyle{ y(t) = -3\delta(t) - 6e^{2t} +e^{2t} = -3\delta(t) - 5e^{2t}.}\)