obliczenie sumy (sigmy)

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
gawi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 10 mar 2007, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O-ka
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: gawi » 7 paź 2007, o 11:28

Chodzi mi o obliczenie takiej sumy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (k-1)^2}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(2n^2-n)}{6}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: bolo » 7 paź 2007, o 12:09

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}\,=\,\sum_{k=0}^{n-1}k^{2}\,=\,\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}\,=\,-n^{2}+\sum_{k=1}^{n}k^{2}}\)

Tę ostatnią sumę zapewne znasz, więc już nie będzie problemu.

gawi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 10 mar 2007, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O-ka
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: gawi » 7 paź 2007, o 12:26

bolo, dzięki wielkie ale jak możesz to zrób do końca bo jakoś nie potrafię tego skończyć :/

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: bolo » 7 paź 2007, o 12:30

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

Pozostaje tylko od tego odjąć \(\displaystyle{ n^{2}}\) i wyjdzie podany na początku wynik.

gawi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 10 mar 2007, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O-ka
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: gawi » 7 paź 2007, o 12:33

hmm nadal nie rozumiem skąd wziąłeś ten wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2}\)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: bolo » 7 paź 2007, o 12:37

Można go wyprowadzić na wiele sposobów. Jak dobrze pamiętam, to w liceach nie wyprowadzało się go, tylko przyjmowało jako matematyczny dogmat.

Mimo to:

http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=26462

gawi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 10 mar 2007, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O-ka
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

obliczenie sumy (sigmy)

Post autor: gawi » 7 paź 2007, o 12:40

bolo, dzięki wielkie

ODPOWIEDZ