Matematyka.pl

Witam,

proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Konstrukcja jest kotwą dużej siły rozciągającej. Jaka jest maksymalna pionowa siła \(\displaystyle{ P}\), której konstrukcja jest w stanie się oprzeć (w trakcie plastyczności) jeżeli każdy z stalowych członów konstrukcji ma przekrój jak przedstawiono. Przyjmij \(\displaystyle{ f_y=500N/mm^2}\)

Poprawna odpowiedź: \(\displaystyle{ 162kN}\).

Masz może "Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów" Banasiak, Grossman, Trombski ? Powinien być do zdobycia w pdf w internecie. Tam na stronie 27 znajdziesz rozwiązane zadanie 1.16, które jest w zasadzie identyczne tylko oczywiście dane liczbowe inne. Kryterium wytrzymałościowe też jest w tym przykładzie inne (za maksymalne dopuszczalne naprężenia przyjmują granicę plastyczności), ale sam schemat rozwiązania powinien być ten sam.

Nie będę tu przepisywać tego wszystkiego, ale gdybyś nie zdobył książki to kolejność postępowania jest następująca: wiedząc, że z uwagi na symetrię siły w ukośnych prętach muszą być równe, rozpisujesz jedno równanie równowagi (dla osi \(\displaystyle{ y}\)) aby wyznaczyć te 2 nieznane wartości sił osiowych. Do tego dokładasz równanie z analizy odkształceń (\(\displaystyle{ \Delta l}\)) i wykorzystując prawo Hooke'a obliczasz te siły. Następnie piszesz warunek wytrzymałościowy z uwzględnieniem przekroju prętów i gotowe.

Vide: Brzoska Z. Wytrzymałość materiałów, 10.1.

O tak, dokładnie, tam też od początku rozdziału jest przykład właśnie takiego układu prętów.

Pamiętałem, stąd tylko przekartkowanie dla zapisania numeru rozdziału.

Hej,

nie, nie posiadałem tych książek. Postaram się je zdobyć, a może pomogą mi również w pozostałych zadaniach, które dodałem. Dzięki za pomoc.

Wykorzystamy warunki równowagi układu sił zbieżnych oraz warunek wytrzymałościowy- nośności prętów( \(\displaystyle{ S _{1}, S _{2}, S _{3}}\)) dla materiału określonego przez dopuszczalne naprężenie na rozciąganie: \(\displaystyle{ f _{y}=k _{r}}\)
...........................................................
1. Z warunków równowagi mamy równania:
\(\displaystyle{ -S _{1} \cdot \sin 30 ^{\circ}+S _{3} \cdot \sin 30^{\circ}=0 \Rightarrow S _{1}=S _{3}}\), (1)
\(\displaystyle{ P-S _{1} \cdot \cos 30 ^{\circ}-S _{2}-S _{3} \cdot \cos 30^{\circ}=0}\), (2)

Z równań:(1) i (2) znajdujemy przepis na siłę P:
\(\displaystyle{ P =2S _{3} \cdot \cos 30 ^{\circ}+S _{2}}\) , (3)

2. Z warunku wytrzymałościowego obliczamy maksymalne siły przenoszone przez pręty:
\(\displaystyle{ S _{3}=A _{3} \cdot k _{r}=100 \cdot 500=50,00 kN}\), (4)
/wybrano przekrój \(\displaystyle{ A _{3}}\) jako bardziej wrażliwy na zniszczenie/
\(\displaystyle{ S _{2}=A _{2} \cdot k _{r}=150 \cdot 500=75,00 kN}\), (5)

3. Ostatecznie wartość siły P z równania (3):
\(\displaystyle{ P=2 \cdot 50 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} +75=50 \sqrt{3}+75=161,60 kN}\)

Nie, bo jest to przypadek statycznie niewyznaczalny i trzecim równaniem jeżeli rozwiązujemy zadanie tzw. metodą przemieszczeń jest równanie odkształceń prętów.
Węzeł pod działaniem sił dozna przemieszczenia \(\displaystyle{ u}\) , zaś pręty wydłużą się odpowiednio.

Ta metoda rozw., którą Pan sugeruje jest opisywana w wielu podręcznikach.
......................
Moje rozwiązanie uwzględnia podane przekroje poprzeczne prętów i dopuszczalne napreżenie \(\displaystyle{ k _{r}}\), stąd taka droga postepowania.
Dodam, że w danych do zadania brak modułu Younga - jednakowy czy różny dla wszystkich prętów, natomiast podano trzy różne przekroje poprzeczne.

Każda z metod stosowanych w mechanice , jeżeli jest uprawniona do użytku jest w wielu podręcznikach opisana i nikt rozsądny jej sobie nie przypisuje.
Pisze Pan o braku pewności o równości modułów sprężystości lub jej braku. Dla tego tym bardziej nie dopuszczalne jest napisanie równości sił w obu gałęziech. Równość modułów przy półtorakrotnej różnicy przekrojów choć równej długości początkowej gałęzi, pozwala zauważyć, że gałąź grubsza wydłuży się o 2/3 wydłużenia gałęzi cieńszej, a środkowa o więcej niż przy symetrycznym zachowaniu się układu a węzeł przemieści się po innej drodze niż symetralna stanu początkowego. . Zatem kąty między ostoją a prętami ulegną zmianie i nie będą sobie równe a równanie równości ich rzutów nie będzie prawdziwe bo i rzut siły w środkowym pręcie na ten kierunek trzeba uwzględnić. A Pan to wie najpewniej lepiej niż ja.

Zatem "to nie tak", i nie taki jest wynik końcowy.

Piszę to dla objaśnienia i opisania zadanego przypadku tym użytkownikom , którzy na tym forum poszukują odpowiedzi na swoje wątpliwości.

Dziękuję.

Dla ilustracji.
Obrazowe i w niewspółmiernej skali rozciągania prętów dla przypadku jednakowych modułów sprężystości, przekroju górnego pręta równego 2/3 dolnego i założeniu jednakowych miar sił w tych prętach.
Widać wyraźnie zmiany kątów i niesymetryczne zachowanie się układu.