Matematyka.pl

Witam,

proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:


Pokazany stalowy kabel w konstrukcji pomaga podtrzymać stalową belkę. Jaka siła występuje w kablu? Przyjmij \(\displaystyle{ E_{stali} = 200 kN/mm^2}\)?

Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 10.7kN}\).

Takich zadań jest w literaturze bardzo dużo (trzeba szukać pod układami prętowymi). Zwykle z nawet większą ilością prętów (za to raczej z belką wspornikową a nie swobodnie podpartą) . Wystarczy zaznaczyć wszystkie siły działające na belkę a następnie ułożyć równania równowagi statycznej. Brakujące równania równowagi (gdy jest za dużo niewiadomych sił) uzupełnia się korzystając z warunku geometrycznego przemieszczeń podstawiając wydłużenie pręta \(\displaystyle{ \Delta L}\).

Jaka jest pełna treść tego zadania?

-- 28 gru 2018, o 15:03 --

Postawmy problem następująco:
Jaką miarę ma mieć reakcja w podporze aby ugięcie y w miejscu zamcowania pręta tak obciążonej belki było takie jak jego (pręta) wydłużenie.

Reakcja w podporze równa jest zatem: \(\displaystyle{ R = frac{1}{2}(ql- F)}\)
gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest długością przęsła.
Równanie linii ugięcia osi belki ma postać:
\(\displaystyle{ EJy'' =frac{1}{2}(ql- F) cdot x - frac{1}{2} qx^2}\)
Po dwukrotnym przecałkowaniu dla x = frac{l}{2} otrzymamy wyrażenie na strzałkę w połowie rozpiętości przęsła, czyli w przekroju w którym pręt podtrzymuje belkę.

Wydłużenie pręta,
\(\displaystyle{ Delta L = varepsilon l = frac{sigma}{E} cdot L = frac{F}{A cdot E} L}\)
Dla tego przykładu \(\displaystyle{ L= frac{l}{2}}\), zatem:

\(\displaystyle{ Delta L = varepsilon l = frac{sigma}{E} cdot L = frac{F}{A cdot E} cdot frac{l}{2} = frac{1}{EJ} int_{0}^{ frac{l}{2} } left( int_{0}^{ frac{l}{2} } (frac{1}{2}(ql- F) cdot x - frac{1}{2} qx^2)dx
ight)dx}\)

Rozwiązanie względem F jest odpowiedzią na zadane pytanie.-- 28 gru 2018, o 18:24 --437516.htm#p5566405