Matematyka.pl

Zadanie:
Dowieść, że jeżeli suma mnogościowa \(\displaystyle{ V_1 \cup V_2}\) dwóch podprzestrzeni \(\displaystyle{ V_1, V_2 \subset V}\)także jest podprzestrzenią,
to \(\displaystyle{ V_1 \subset V_2}\) lub \(\displaystyle{ V_2 \subset V_1}\).
Zrobiłem to tak:
Dowód ad absurdum
Załóżmy, że nie zachodzi \(\displaystyle{ V_1\subset V_2}\) ani \(\displaystyle{ V_2 \subset V_2}\)
Wtedy istnieje taki \(\displaystyle{ v_1 \in V_1}\) taki że \(\displaystyle{ v_1 \notin V_2}\)
,oraz \(\displaystyle{ v_2 \in V_2}\) taki że \(\displaystyle{ v_2 \notin V_1}\)
Zatem \(\displaystyle{ v_1,v_2 \in V_1 \cup V_2}\) (1)
\(\displaystyle{ v_1+v_2 \notin V_1}\) bo \(\displaystyle{ v_2 \notin V_1}\) , analogicznie \(\displaystyle{ v_1+v_2 \notin V_2}\) (*)
Zatem \(\displaystyle{ v_1+v_2 \notin V_1 \cup V_2}\), ale ponieważ \(\displaystyle{ V_1 \cup V_2}\) miało być podprzestrzenią wektorową to otrzymujemy sprzeczność z (1).
Czy dobrze to zrobiłem? Konkretnie mam wątpliwości co do kroku (*).

217363.htm

janusz47 pisze:217363.htm

Dziękuje ale mimo wszystko chciałbym się dowiedzieć czy dobrze zrobiłem...

Z \(\displaystyle{ (1) \ \ v_{1}, v_{2}\notin V_{1} \cup V_{2}}\)

Spójrz jeszcze raz na rozwiązanie podane w linku i chwyt zastosowany przez Qń.

Dobrze zrobiłeś, ale krok (*) mógłby być uzasadniony dokładniej.