Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: Wojtus2131 » 17 gru 2018, o 22:48

\(\displaystyle{ y'=\frac{x^2+y^2}{xy}-\frac{x^2}{y^2}-2}\)
Jakie podstawienie tu zastosować?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3718
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 358 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: arek1357 » 17 gru 2018, o 22:58

\(\displaystyle{ y=xz}\)

\(\displaystyle{ y'=z+xz'}\)

I masz rozwiązane...

Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Wojtus2131 » 17 gru 2018, o 23:12

hm...
\(\displaystyle{ z+z'x=\frac{x^2+x^2z^2}{x^2z}-z^2-2}\)
\(\displaystyle{ z+z'x=\frac{1+z^2}{z}-z^2-2}\)
\(\displaystyle{ z'x=\frac{1}{z}-z^2-2}\)
\(\displaystyle{ \frac{xdz}{dx}=\frac{1-z^3-2z}{z}}\)
\(\displaystyle{ \frac{zdz}{1-z^3-2z}=\frac{dx}{x}}\)
i wychodzi dziwna całka, a przecież zależy nam na wyliczeniu z?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3718
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 358 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: arek1357 » 17 gru 2018, o 23:21

W równaniu różniczkowym raczej chodzi o rozwiązanie go a nie wyliczeniu jakiejś zmiennej to czasem się ciut różni...

I radzę Ci właśnie rozwiązać tę całkę co nie jest czymś niezwykłym...

Masz mały błąd zamiast \(\displaystyle{ z^2}\) winno być:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2}}\)
Ostatnio zmieniony 17 gru 2018, o 23:30 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.

Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Wojtus2131 » 17 gru 2018, o 23:26

no tak, ale krokiem prowadzącym do rozwiązania jest wyliczenie z
wolfram wypluwa coś paskudnego, stąd moje wątpliwości

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3718
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 358 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: arek1357 » 17 gru 2018, o 23:32

jest wyliczenie z
Wcale to nie musi być prawdą...

Przeważnie rozwiązaniem równania różniczkowego jest rodzina krzywych...

Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Wojtus2131 » 17 gru 2018, o 23:47

zatem mamy
\(\displaystyle{ z'x=\frac{z-1-2z^2}{z^2} \\ \frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{z^2\mbox{d}z}{z-1-2z^2} \\ \ln |x|=\frac{1}{56}\left(6\sqrt{7}\arctan \frac{4z-1}{\sqrt{7}}-7\left( \ln \left(2z^2-z+1\right)+4z\right)\right)}\)
co dalej?
Ostatnio zmieniony 18 gru 2018, o 00:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3718
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 358 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: arek1357 » 17 gru 2018, o 23:58

Podstaw za:

\(\displaystyle{ z= \frac{y}{x}}\)

I masz koniec...

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: JakubP-Jzero » 18 gru 2018, o 14:45

arek1357, A czy możesz pokazać jak ten koniec wygląda ? Bo zastosowałem to podstawienie i również znajduję tam aż nazbyt ciekawą całkę.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5024
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: janusz47 » 18 gru 2018, o 23:25

\(\displaystyle{ y' = \frac{x^2 + y^2 }{x\cdot y} -\frac{x^{2}}{y^2} - 2 \ \ (0)}\)

\(\displaystyle{ y' = \frac{x}{y}+ \frac{y}{x} - \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 2}\)

Jest to równanie postaci:

\(\displaystyle{ y' = g\left(\frac{y}{x}\right) \ \ (1)}\)

W literaturze równania tego typu nazywane są równaniami jednokładności (skali jednokładności).

Jeśli podstawimy \(\displaystyle{ w = \frac{y}{x},}\) to prawa strona równania \(\displaystyle{ (0)}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ g(w) = w + \frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ D = \left \{(x, y): x\neq 0 , y\neq 0, c < \frac{y}{x}< d \right\}.}\)

Celem rozwiązania równania \(\displaystyle{ (0)}\) wprowadzamy pomocniczą funkcję niewiadomą:

\(\displaystyle{ w = \psi(x) = \frac{\phi(x)}{x},}\) gdzie \(\displaystyle{ y = \phi(x)}\)

Mamy więc \(\displaystyle{ \phi(x) = x\cdot \psi(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi'(x) = \psi(x) +x\cdot \psi'(x)}\)

Wstawiając do równania \(\displaystyle{ (1)}\) - otrzymujemy

\(\displaystyle{ \psi(x) +x\cdot \psi'(x) = g(\psi(x))}\)

czyli

\(\displaystyle{ \psi'(x) = \frac{g(\psi (x)) -\psi(x)}{x}}\)

Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) sprowadziliśmy więc do równania:

\(\displaystyle{ w' = \frac{g(w) - w}{x} \ \ (3)}\)

Podstawiamy (2) do (3)

\(\displaystyle{ w' = \frac{w + \frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 - w}{x}}\)

\(\displaystyle{ w' = \frac{\frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 }{x}}\)

\(\displaystyle{ w' = \frac{1}{w\cdot x} + \frac{1}{w^2\cdot x} -\frac{2}{x}}\)

\(\displaystyle{ w' = \frac{-2w^2 +w +1}{w^2\cdot x} \ \ (4)}\)

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielających się:

\(\displaystyle{ \frac{w^2\cdot w'}{-2w^2 +w+1} = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}w + \frac{1}{2}}{-2(w-1)(w+\frac{1}{2})}\right)\cdot w' = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\left( \frac{w+1}{(w-1)(w+\frac{1}{2})}\right)\cdot w' = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2} -\frac{1}{4}\left( \frac{\frac{4}{3}}{w-1} -\frac{\frac{1}{3}}{w+\frac{1}{2}} \right) \right) \cdot w' = \frac{1}{x} \ \ (5)}\)

Podstawiamy różniczkę \(\displaystyle{ w'dx = dw}\) i całkujemy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (5)}\)względem \(\displaystyle{ x,}\) otrzymując:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}w -\frac{1}{3}\ln|w-1| +\frac{1}{12} \ln |w+\frac{1}{2}| = \ln |x| + C}\)


\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}w -\frac{1}{12}\ln \left( \frac{|w-1|^4}{|x|\cdot |w+\frac{1}{2}|}\right)= C.}\)

Kładąc \(\displaystyle{ w = \frac{y}{x},}\) otrzymujemy całkę ogólną równania \(\displaystyle{ (0)}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{x} -\frac{1}{12}\ln \left( \frac{|\frac{y}{x}-1|^4}{|x| \cdot |\frac{y}{x}+\frac{1}{2}|}\right) = C.}\)
Ostatnio zmieniony 18 gru 2018, o 23:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ