Oblicz oryginał

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Oblicz oryginał

Post autor: fluffiq » 16 gru 2018, o 23:54

Jak się za to zabrać?
Oczywiście chodzi o wykorzystanie Transformaty Laplace'a. Ułamki ogarniam, ale tego typu nie :(

\(\displaystyle{ F_{z}= \frac{\pi}{2} - \arctan \left( \frac{z}{2} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 16 gru 2018, o 23:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Oblicz oryginał

Post autor: Janusz Tracz » 17 gru 2018, o 08:51

Jest taki wzór na całkę transformaty.
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}= \int_{z}^{ \infty }F\left( \xi\right) \mbox{d}\xi}\)
W podanym przez Ciebie przykładzie da się doszukać że:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \arctan \left( \frac{z}{2} \right)= \int_{z}^{ \infty } \frac{ 2 \mbox{d}\xi}{4+\xi^2}}\)

więc \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f\right\}= \frac{2}{4+z^2} \ \Rightarrow \ f(t)=\sin 2t}\). To z tabel lub z definicji wiadomo. Więc
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \frac{\sin 2t}{t} \right\}=\frac{\pi}{2} - \arctan \left( \frac{z}{2} \right)}\)
czyli oryginałem jest \(\displaystyle{ \frac{\sin 2t}{t}}\)

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Re: Oblicz oryginał

Post autor: fluffiq » 19 gru 2018, o 23:44

Janusz Tracz pisze:Jest taki wzór na całkę transformaty.
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}= \int_{z}^{ \infty }F\left( \xi\right) \mbox{d}\xi}\)
W podanym przez Ciebie przykładzie da się doszukać że:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \arctan \left( \frac{z}{2} \right)= \int_{z}^{ \infty } \frac{ 2 \mbox{d}\xi}{4+\xi^2}}\)
W jaki sposób się tego doszukać?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Oblicz oryginał

Post autor: Janusz Tracz » 20 gru 2018, o 11:05

Po zrobieniu odpowiedniej ilości całek takie rzeczy widać.-- 20 gru 2018, o 12:07 --Można też założyć że ten wzór się przyda i spróbować zaleźć takie \(\displaystyle{ F\left( \xi\right)}\) by równość zachodziła.

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \arctan \left( \frac{z}{2} \right)= \int_{z}^{ \infty } F(\xi)\mbox{d}\xi}\)

ODPOWIEDZ