Matematyka.pl

Liczby całkowite 1798, 2139, 3255, 4867 dzielą się przez 31. Bez żadnych obliczeń korzystając z własności wyznacznika pokazać, że wyznacznik dzieli się przez 31:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&7&9&8\\2&1&3&9\\3&2&5&5\\4&8&6&7\end{array}\right|}\)

Co muszę z nim zrobić, aby było widać, że jest podzielny przez 31? Poprzekształcać go tak, aby można było wyciągnąć liczbę 31 przed wyznacznik?

Wiersze tej macierzy skladaja sie z cyfr wymienionych liczb.
Sprobuj wymnozyc pierwsza kolumne przez \(\displaystyle{ 10^3}\) druga przez \(\displaystyle{ 10^2}\),...
tak by suma pierwszego wiersza dawała 1798 itp.
teraz co nam wyjdzie i co nam to powie jesli do pierwszej kolumny dodamy kolumnę drugą, trzecią, czwartą?

To po dodaniu kolumn do siebie otrzymamy w pierwszej te 4 liczby, które są podzielne przez 31. I jeżeli zrobię teraz rozwinięcie tego wyznacznika względem pierwszej kolumny to otrzymam 4 wyznaczniki \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) a przed nimi te 4 podzielne przez 31 liczby. Czy to zanczy, że pokazałem, że mój wyjściowy wyznacznik jest podzielny przez 31?

jeszcze zapomniałeś wziąć pod uwagę to, że przemnożenie kolumn przez \(\displaystyle{ 10^{n}}\) zmienia nieco wyznacznik - weź to pod uwagę w uzasadnieniu i będzie ok

Co znaczy, że zmienia wyznacznik, po za tym, że pojawiają się w nim nowe liczby?

zmienia wartość wyznacznika...

No rzeczywiście. Dziękuję za pomoc

To samo rozwiązanie trochę bardziej abstrakcyjnie: podaną macierz można potraktować jako macierz nad ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_{31}}\). W tymże ciele kolumny \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3, u_4}\) spełniają równanie liniowe

\(\displaystyle{ 1000 u_1 + 100 u_2 + 10 u_3 + u_4 = 0}\)

o niezerowych współczynnikach (bo niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 31}\)), zatem są one liniowo zależne nad \(\displaystyle{ \ZZ_{31}}\). Toteż wyznacznik jest równy zero w \(\displaystyle{ \ZZ_{31}}\), a zatem jako liczba całkowita musi dzielić się przez \(\displaystyle{ 31}\).