Matematyka.pl

A, B podgrupy Grupy G.

Żadna z nich nie jest normalna..

Podać przykład zaprzeczyć lub udowodnić możliwość istnienia izomorfizmu między produktem:

\(\displaystyle{ \varphi: A \times B \rightarrow G}\)

Nie będzie to oczywiście produkt prosty ani półprosty...

Polecenie jest nieścisłe. Czy chodziło Ci o rozstrzygnięcie, czy może istnieć taka struktura grupowa na zbiorze \(\displaystyle{ A \times B}\), żeby odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi : A \times B \to G}\) określone jako \(\displaystyle{ \varphi( a, b ) = a \cdot b}\) było izomorfizmem?

Tak dokładnie chodzi o rozstrzygnięcie, bo może być 3 przypadki:

- takie coś nie ma miejsca nigdy
- czasem ma , czasem nie ma
- zawsze ma...

Któryś z tych trzech przypadków jest prawdziwy, tylko, który...

przypadek pierwszy wystarczy udowodnić, przypadek drugi wskazać przykłady, przypadek trzeci wykonać konstrukcję...

rozumiem, że \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) są podgrupami \(\displaystyle{ G}\) (które nie są podgrupami normalnymi) takimi, że \(\displaystyle{ G=AB}\) i tnącymi się trywialnie?

myślałeś o jakimś konkretnym przykładzie takiej grupy i jej podgrup?

Tak to podgrupy nienormalne...
A co mnie tknęło na taki pomysł , skoro jest iloczyn prosty, półprosty to czy mógłby być iloczyn nieprosty...

Nie myślałem tak nad tym jeszcze a jeżeli by był trzeba by było jakoś skonstruować działanie...

jeśli się nie pomyliłem, to w grupie alternującej \(\displaystyle{ A_5}\) można wziąć np. podgrupę cykliczną rzędu \(\displaystyle{ 5}\) i tnącą się z nią trywialnie podgrupę izomorficzną z \(\displaystyle{ A_4}\)

One oczywiście nie są normalne, ale obawiam się, że nie chcę patrzeć na grupę prostą jak na produkt (nieprosty) jej podgrup właściwych

obawiam się, że nie chcę patrzeć na grupę prostą jak na produkt (nieprosty) jej podgrup właściwych

Nie wiem czemu masz obawy...


Pociąg dalej ten temat , trzeba będzie napisać iloczyn kartezjański tych podgrup...

Wypisz konkretne podgrupy to pomnożymy je ...

Jeśli \(\displaystyle{ |A \times B|=|G|}\) i \(\displaystyle{ |f| \colon |A \times B| \rightarrow |G|}\) jest dowolną bijekcją to możemy przenieść działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) z \(\displaystyle{ G}\) na \(\displaystyle{ A \times B}\), w sposób standardowy, to znaczy: dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in |A \times B|}\) określamy \(\displaystyle{ x \cdot_{|f|} y:=|f|^{-1}\left(|f|(x) \cdot |f|(y)\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ f \colon \left(A \times B, \cdot_{|f|}\right) \rightarrow \left(G, \cdot\right)}\) zadane przez \(\displaystyle{ f(x):=|f|(x)}\) jest izomorfizemem grup.

Wprowadzasz działanie na iloczynie kartezjańskim, i teraz sprawdź czy podgrupy:

\(\displaystyle{ (e,B)(A,e)}\) nie są podgrupami normalnymi grupy : \(\displaystyle{ A \times B}\)...

Poza tym to przekształcenie nie musi być izomorfizmem...

\(\displaystyle{ (x,y)(a,e)(x^{-1},y^{-1})=(xa,y)(x^{-1},y^{-1})=(xax^{-1},e)}\)

Ja się sugerowałem tym co napisał Dasio11. W tym wypadku zadanie jest nieciekawe, bo mając dowolny suchy zbiór który ma taką samą moc co grupa, istnieje przeniesienie działania na ten zbiór przez dowolną bijekcję między tym zbiorem a grupą.

Wydaje mi się, że odwzorowanie które opisałem w poprzednim swoim poście jest izomorfizmem, gdyż.

(1) \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, bo \(\displaystyle{ |f|}\) jest.

(2) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in A \times B}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(x \cdot_{|f|} y)=|f|\left(|f|^{-1}\left(|f|(x) \cdot |f|(y)\right)\right)=|f|(x) \cdot |f|(y) = f(x)\cdot f(y)}\)

@edit:
Okej, już rozumiem w czym problem, masz rację.

arek1357 pisze:

Pociąg dalej ten temat , trzeba będzie napisać iloczyn kartezjański tych podgrup...

Wypisz konkretne podgrupy to pomnożymy je ...

Weźmy w \(\displaystyle{ A_5}\) podgrupy: \(\displaystyle{ A=\left\langle \left( 1,2,3,4,5\right) \right\rangle}\) generowaną przez cykl długości \(\displaystyle{ 5}\) oraz \(\displaystyle{ B=\left\langle \left( 1,2\right)\left( 3,4\right) , \left( 1,2,3\right) \right\rangle}\)
według mnie \(\displaystyle{ A_5=AB}\), ale mogłem się pomylić. Teraz można próbować zobaczyć czy się da czy się nie da skonstruować izomorfizm między \(\displaystyle{ A_5}\) a produktem tych podgrup

Teraz warto wypisać elementy grupy A i B

W A jest prosto B trzeba zliczać...

No chyba też nie jest w \(\displaystyle{ B}\) trudno
po pierwsze \(\displaystyle{ B}\) daje się zanurzyć w \(\displaystyle{ S_4}\); ponadto \(\displaystyle{ B}\) ma tylko permutacje parzyste, a więc \(\displaystyle{ B}\) zanurza się w \(\displaystyle{ A_4}\). Nietrudno zobaczyć, że \(\displaystyle{ B=A_4}\), wiemy bowiem jak wyglądają podgrupy \(\displaystyle{ A_4}\)

wiemy też, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) tną się trywialnie

Tak ale \(\displaystyle{ A_{4}}\) ma elementów \(\displaystyle{ 12}\)

A grupa A generowana przez ten cykl ma elementów\(\displaystyle{ 25}\)

Co sugeruje, że iloczyn kartezjański tych grup ma rząd:

\(\displaystyle{ 12 \cdot 25=300}\)

Czyli nie tyle co rząd \(\displaystyle{ A_{5} \rightarrow 360}\)

arek1357 pisze:Tak ale \(\displaystyle{ A_{4}}\) ma elementów \(\displaystyle{ 12}\)

A grupa A generowana przez ten cykl ma elementów\(\displaystyle{ 25}\)

Co sugeruje, że iloczyn kartezjański tych grup ma rząd:

\(\displaystyle{ 12 \cdot 25=300}\)

Czyli nie tyle co rząd \(\displaystyle{ A_{5} \rightarrow 360}\)

Wydaje mi się, że grupa \(\displaystyle{ A_5}\) permutacji parzystych ma jednak rząd równy \(\displaystyle{ 60}\)

Co więcej, permutacja \(\displaystyle{ \left( 1,2,3,4,5\right)}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 5}\), a zatem podgrupa generowana przez ten cykl ma rząd \(\displaystyle{ 5}\)
dlaczego więc \(\displaystyle{ A}\) ma być podgrupą rzędu \(\displaystyle{ 25}\)??