Drgania tłumione siłą at

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
ewenementh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 21 sie 2017, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wyszków
Podziękował: 2 razy

Drgania tłumione siłą at

Post autor: ewenementh » 16 gru 2018, o 12:44

Cześć, czy mógłby ktoś rozwiązać, to równanie różniczkowe dla zadania:
Określić drgania wymuszone układu pod wpływem siły wymuszającej \(\displaystyle{ F(t)}\), jeżeli w chwili początkowej układ spoczywał w położeniu równowagi \(\displaystyle{ x=0 \ i \ x'=0 \ dla \ F(t)=at}\)

Nie musi być bardzo szczegółowo.

\(\displaystyle{ \frac{d^2x}{dx^2}+\omega^2x= \frac{at}{m}}\)

gdzie, \(\displaystyle{ a-amplituda, t-czas, x-polozenie, x'-predkosc, m-masa}\)
Ostatnio zmieniony 16 gru 2018, o 13:25 przez ewenementh, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
PawelJan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 971
Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
Pomógł: 209 razy

Re: Drgania tłumione siłą at

Post autor: PawelJan » 16 gru 2018, o 13:00

Dla niejednorodności w formie wielomianu przewidujemy całkę szczególną równania niejednorodnego jako wielomian tego samego stopnia przemnożony przez \(\displaystyle{ x^s}\), gdzie s jest krotnością zera jako pierwiastka charakterystycznego.

ewenementh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 21 sie 2017, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wyszków
Podziękował: 2 razy

Drgania tłumione siłą at

Post autor: ewenementh » 16 gru 2018, o 15:49

Okej okej, dzięki za podpowiedź. Nie chcę już rozwiązania na stronie, ale gdyby ktoś mógł sprawdzić, czy po wstawieniu warunków początkowych itp. to poprawny wynik:
\(\displaystyle{ x=\frac{at}{mw^2}}\)

Awatar użytkownika
PawelJan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 971
Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
Pomógł: 209 razy

Re: Drgania tłumione siłą at

Post autor: PawelJan » 16 gru 2018, o 16:04

To poprawny wynik jeśli chodzi o całkę szczególną równania niejednorodnego.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2887 razy

Re: Drgania tłumione siłą at

Post autor: a4karo » 16 gru 2018, o 16:05

Wstaw i sprawdź Ale na oko to nie jest ani drganie ani tłumione

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5281
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Drgania tłumione siłą at

Post autor: janusz47 » 16 gru 2018, o 19:36

\(\displaystyle{ x''(t) + \omega^2 x(t) =\frac{at}{m}\ \ (0)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (0)}\) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego-niejednorodnym o stałych współczynnikach.

Znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania różniczkowego rzędu drugiego jednorodnego:

\(\displaystyle{ x''(t) +\omega^2 x(t) =0 \ \ (1)}\)

Odpowiadające mu równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ r^2 + \omega^2 =0 \ \ (2)}\)

ma pierwiastki zespolone:

\(\displaystyle{ r_{1}= - \sqrt{\omega^2} = -\omega \cdot i,}\)

\(\displaystyle{ r_{2} = \sqrt{\omega^2} = \omega\cdot i.}\)

W takim razie rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (2)}\) ma postać:

\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\sin(\omega t) + c_{2}\cos(\omega t)}\)

\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\left(\sin(\omega t) + \frac{c_{2}}{c_{1}} \cos(\omega t) \right)}\)

Wprowadzając pomocniczy kąt \(\displaystyle{ \phi}\) za pomocą zależności :

\(\displaystyle{ \frac{c_{2}}{c_{1}} = \tg(\phi)}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ x(t) = \frac{c_{1}}{\cos(\phi)}\left( \cos(\phi)\sin(\omega t) +\sin(\phi)\cos(\omega t)\right)}\)

Oznaczając jeszcze:

\(\displaystyle{ \frac{C_{1}}{\cos(\phi)} = A}\) mamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w postaci:

\(\displaystyle{ x_{o}(t) = A\sin(\omega t +\phi)\ \ (3)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (3)}\) przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie \(\displaystyle{ A}\) i fazie początkowej \(\displaystyle{ \phi.}\)

Okres drgań \(\displaystyle{ T}\) znajdujemy ze wzoru:

\(\displaystyle{ \omega(t+T) +\phi = \omega t +\phi + 2\pi}\)

Skąd

\(\displaystyle{ T =\frac{2\pi}{\omega}}\)

a więc częstotliwość kątowa:

\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{T}.}\)

Uwzględniając poprawnie wyznaczoną całkę szczególną równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ x_{s}(t) = \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)

Rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (0)}\)

\(\displaystyle{ x(t) = x_{o}(t) +x_{s}(t)= A\sin(\omega t +\phi) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)

Uwzględniamy warunki początkowe: \(\displaystyle{ x(0) = 0, \ \ x'(0) = 0,}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{a}{m\omega ^3}\sin(\omega t) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}.}\)
Ostatnio zmieniony 16 gru 2018, o 19:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ewenementh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 21 sie 2017, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wyszków
Podziękował: 2 razy

Re: Drgania tłumione siłą at

Post autor: ewenementh » 23 gru 2018, o 19:46

Dziękuję za wyczerpujące rozwiązanie, ale mam jeszcze takie małe pytanko do CSRN nie do końca mam pewność czy dobrze ją wyznaczyłem czy miałem po prostu szczęście albo zbieg okoliczności, gdyż w innych nie bardzo mi, to wychodzi. Mógłbyś tak w ogólności nakreślić jej wyznaczanie?

Nie aktualne, poradziłem sobie.

ODPOWIEDZ