żS-2, od: luka52, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-2, od: luka52, zadanie 4

Post autor: Liga » 6 paź 2007, o 23:02

luka52 pisze:Cięciwą będzie zawsze odcinek prostej \(\displaystyle{ y = m(x-3), \ \ m \mathbb{R}}\) (r. to wynika z warunku zad.).
Wyliczmy zatem współrzędne punktów przecięcia się prostej i okręgu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = m(x-3) \end{cases}}\)
podstawiając r. drugie do pierwszego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego łatwo wyznaczamy pierwiastki, a następnie końcowe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = \frac{3m^2 - \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \\ y_1 = -3 m + \frac{3m^3 - m \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \end{cases} \ \ \mbox{lub} \ \ \begin{cases} x_2 = \frac{3m^2 + \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \\ y_2 = -3 m + \frac{3m^3 + m \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \end{cases}}\)

Środek cięciwy S, to punkt \(\displaystyle{ S = ft( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = ft( \frac{3m^2}{1+m^2}, -\frac{3m}{1+m^2} \right)}\)

Zauważmy dodatkowo, że równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{3m^2}{1+m^2} \\ y = -\frac{3m}{1+m^2} \end{cases}}\)
to parametryczne równanie okręgu o równaniu (w postaci kanonicznej) \(\displaystyle{ (x-1.5)^2 + y^2 = (1.5)^2}\).
Zatem środki cięciw tworzą okrąg o środku w punkcie (1,5; 0) i promieniu 1,5.
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 19:57 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-2, od: luka52, zadanie 4

Post autor: scyth » 7 paź 2007, o 22:37

Jak to luka rozwiązanie podał na skróty, ale mimo to tym razem proponuję 5/5.

ODPOWIEDZ