Problem obliczeniowy w funkcji generującej momenty
: 12 gru 2018, o 01:42
Witajcie Mam problem przy liczeniu funkcji generującej momenty (FGM). Po obliczeniu pewnej całki, oznaczam ją sobie:
\(\displaystyle{ \ldots = \frac{1}{2t+2} \cdot \left[ e^{x\left( t-1\right) }\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2t-2} \cdot \left[ e^{x\left( t-1\right) }\right]_{0}^{+\infty} = \\
\frac{1}{2t+2} \cdot \left[ e^{0} - e^{-\infty}\right] + \frac{1}{2t-2} \cdot \left[ e^{+\infty} - e^{0}\right] = \infty}\)
I właśnie przez ten człon \(\displaystyle{ e^{+\infty}}\) wszystko się wywala.
W dalszej części zadania mam wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję danego rozkładu, więc jest to niemożliwe, gdy ta całka (czyli FGM) jest nieskończona...
Podpowiedzcie czy coś robię źle, czy to wykładowca musiał coś pomylić we wzorze funkcji (dodam, że wykładowca lubi się pomylić, zdarza mu się to wielokrotnie nawet na egzaminach).
Widziałem jeszcze bardzo podobny przykład pod tym linkiem i tam mieli podobne problemy, tylko w niewyjaśnionych okolicznościach nie otrzymali nieskończoności tylko \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\):
Skąd im się wzięły te wyniki po podstawieniach? To jakieś własności? Sprytne triki, których nie znam?
Z góry dziękuję za pomoc!
P.S. Dodam, że całka \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx} \cdot \frac{1}{2} e^{-\left| x\right| }}\) liczona na stronie również wychodzi rozbieżna... Ale całka z linku również wychodzi rozbieżna na tej stronie, a im wyszła skończona...
\(\displaystyle{ \ldots = \frac{1}{2t+2} \cdot \left[ e^{x\left( t-1\right) }\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2t-2} \cdot \left[ e^{x\left( t-1\right) }\right]_{0}^{+\infty} = \\
\frac{1}{2t+2} \cdot \left[ e^{0} - e^{-\infty}\right] + \frac{1}{2t-2} \cdot \left[ e^{+\infty} - e^{0}\right] = \infty}\)
I właśnie przez ten człon \(\displaystyle{ e^{+\infty}}\) wszystko się wywala.
W dalszej części zadania mam wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję danego rozkładu, więc jest to niemożliwe, gdy ta całka (czyli FGM) jest nieskończona...
Podpowiedzcie czy coś robię źle, czy to wykładowca musiał coś pomylić we wzorze funkcji (dodam, że wykładowca lubi się pomylić, zdarza mu się to wielokrotnie nawet na egzaminach).
Widziałem jeszcze bardzo podobny przykład pod tym linkiem i tam mieli podobne problemy, tylko w niewyjaśnionych okolicznościach nie otrzymali nieskończoności tylko \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\):
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/539315/what-is-the-moment-generating-function-from-a-density-of-a-continuous-random-var
Skąd im się wzięły te wyniki po podstawieniach? To jakieś własności? Sprytne triki, których nie znam?
Z góry dziękuję za pomoc!
P.S. Dodam, że całka \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx} \cdot \frac{1}{2} e^{-\left| x\right| }}\) liczona na stronie
Kod: Zaznacz cały
https://www.integral-calculator.com