Matematyka.pl

Przedstaw wielomian \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych
stopnia nie większego niż dwa

piasek101 pisze:\(\displaystyle{ =(x^2+1)^2-2x^2=...}\)

Iloczyn wielomianów(tylko), a jest także różnica..

Przecież napisałem kropki (trzy) - czyli trzeba dokończyć (ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^2-b^2=...}\)).

Uzupełniamy do kwadratu sumy dwumianu:

\(\displaystyle{ x^4 + 1 = (x^2)^2 + 2x^2\cdot1 + 1^2 - 2x^2 = ( x^2 +1)^2 -2x^2 = (x^2 -\sqrt{2}\cdot x+1)\cdot (x^2 - \sqrt{2}\cdot x +1).}\)

janusz47 pisze:Uzupełniamy do kwadratu sumy dwumianu:

\(\displaystyle{ x^4 + 1 = (x^2)^2 + 2x^2\cdot1 + 1^2 - 2x^2 = ( x^2 +1)^2 -2x^2 = (x^2 -\sqrt{2}\cdot x+1)\cdot (x^2 - \sqrt{2}\cdot x +1).}\)

Wydaje mi się, że powinno być \(\displaystyle{ x^4 + 1=(x^2+1-\sqrt{2}x)\cdot(x^2+1+\sqrt{2}x)}\)

Masz rację powinno być:

\(\displaystyle{ (x^2 -\sqrt{2}x +1)(x^2 +\sqrt{2}x +1)}\)