3 dowody

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

3 dowody

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 22:33

1) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami nieujemnymi, to \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{a*b}}\).

2)Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 qslant ab+ac+bc}\).

3) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ 0 qslant xy+yz+zx}\).

mms
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 21 razy

3 dowody

Post autor: mms » 6 paź 2007, o 22:40

1)

\(\displaystyle{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0}\)
\(\displaystyle{ a - 2\sqrt{ab} + b q 0}\)
\(\displaystyle{ a+b q 2\sqrt{ab}}\)
Ostatnio zmieniony 6 paź 2007, o 22:47 przez mms, łącznie zmieniany 1 raz.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

3 dowody

Post autor: Piotr Rutkowski » 6 paź 2007, o 22:40

1) spójrz do kompendium 2+2 ---> Nierówności pomiędzy średnimi

2)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a-b)^{2} q 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(b-c)^{2} q 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(c-a)^{2} q 0}\)
jak zsumujesz dostaniesz tezę zadania

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

3 dowody

Post autor: liu » 6 paź 2007, o 22:44

3)

\(\displaystyle{ 0 = (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 +2xy +2yz +2zx q 2xy+2yz+2zx}\), po podzieleniu przez 2 dostajemy teze.

LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

3 dowody

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 22:46

Wielkie podziękowania dla całej 3.

ODPOWIEDZ