Całka krzywoliniowa po trójkącie

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Studniek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 12 mar 2018, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Całka krzywoliniowa po trójkącie

Post autor: Studniek » 10 gru 2018, o 21:11

Witam.
Mam za zadanie policzyć \(\oint_{C} \left( \frac{-y}{x ^{2}+ y^{2} } \right) \, dx + \left( \frac{x}{x^2+y^2} \right) \, dy,\), gdzie \(C\) jest trójkątem o wierzchołkach w punktach \(\left( 0,1 \right) , \left( -1,0 \right) , \left( 2,-1 \right)\).
Pole nie jest potencjalne, w \(\mathbb{R}\setminus\lbrace \left( 0,0 \right) \rbrace\), więc nie można korzystać z Greena.
Próbowałem policzyć to jako suma 3 całek skierowanych wyznaczając sobie odpowiednio proste od \(\left( -1,0 \right)\) do \(\left( 2,-1 \right)\), od \(\left( 2,-1 \right)\) do \(\left( 0,1 \right)\) i od \(\left( 0,1 \right)\) do \(\left( 1,-1 \right)\) i po parametryzacji wyszły mi 3 takie oto całki:
\(\int\limits_{0}^{-1} \frac{-1}{2x^2+2x+1}dx+ \int\limits_{2}^{0} \frac{2x-1}{2x^2-2x+1}dx+\frac{1}{3} \int \limits_{-1}^{2} \frac{x+1}{5x^2+2x+2}dx\). Jednak po doliczeniu tych całek wychodzi mi zarówno arcus tangens jak i logarytm i wyniki są dosyć skomplikowane, a wiem od nauczyciela, że wynik powinien wyjść \(2\pi\). Stąd moje pytanie, czy mój sposób jest zły i czy można to zrobić w jakiś prostszy sposób? Podobno można jakąś parametryzację sprytną zastosować, będę wdzięczny za pomoc
Edit: Zadanie jest do zrobienia jutro, więc Będę bardzo proszę o szybką ktokolwiek wie -- 11 gru 2018, o 11:24 --Udało mi się policzyć metodą tych 3 całek, po prostu zapomniałem o pochodnych we wzorze na parametryzacje, po tym wszystko wyszło, temat do zamknięcia
Ostatnio zmieniony 10 gru 2018, o 21:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Całka krzywoliniowa po trójkącie

Post autor: janusz47 » 11 gru 2018, o 11:27

Niech \(F(x,y) = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}, \ \ \frac{x}{x^2 +y^2} \right)\)

będzie polem wektorowym na płaszczyźnie \(\RR^2,\)

z której usunięto początek układu współrzędnych \((0, 0).\)

Obliczymy pracę pola wektorowego \(F\) po trójkącie \(\gamma\) zorientowanym dodatnio o wierzchołkach:

\((0,1), \ \ (-1, 0), \ \ (2,-1).\)

Forma pracy \(\omega^{1}_{F}\) tego pola dana jest wzorem:

\(\omega^{1}F = -\frac{y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2 +y^2} dy.\)

Parametryzacja odcinków (boków trójkąta):

\(\gamma_{1}: (0,1) \rightarrow (-1, 0): \ \ x(t) = -t \ \ y(t)= 1-t , \ \ 0\leq t \leq 1.\)

\(\gamma_{2} : (-1,0) \rightarrow (2,-1): \ \ x(t) =-1+3t, \ \ y(t) = -t,\ \ 0 \leq t \leq 1.\)

\(\gamma_{3}: (2,-1) \rightarrow (0,1): \ \ x(t) = 2 -2t. \ \ y(t) = -1 +2t , \ \ 0 \leq t \leq 1.\)


\(\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{\gamma_{1}} \omega^{1}F +\int_{\gamma_{2}} \omega^{1}F+ \int_{\gamma_{3}} \omega^{1}F.\)

\(\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{\gamma_{1}}\omega_{1}F(\gamma_{1})\cdot d(\gamma_{1}) =\int_{\gamma_{2}}\omega_{1}F(\gamma_{2})\cdot d(\gamma_{2}) +\int_{\gamma_{3}}\omega_{1}F(\gamma_{3})\cdot d(\gamma_{3}).\)


\(\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{0}^{1}\left[ \frac{-1+t}{t^2+(1-t)^2}, \frac{-t}{t^2+(1-t)^2}\right]\cdot \left[ -1, -1\right]dt +\int_{0}^{1}\left[ \frac{t}{(1+3t)^2+t^2}, \frac{-1+3t}{(1+3t)^2+t^2}\right]\cdot \left[ 3, -1\right]dt + \int_{0}^{1}\left[ \frac{1-2t}{(2-2t)^2+(-1+2t)^2}, \frac{2-2t}{(2-2t)^2+(-1+2t)^2}\right]\cdot \left[ -2, 2\right]dt\)

\(\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+(1-t)^2}dt + \int_{0}^{1}\frac{1}{(-1+3t)^2+t^2}dt +\int_{0}^{1}\frac{2}{(2-2t)^2 + (-1+2t)^2}dt\)

\(\int_{\gamma} \omega^{1}F = \frac{\pi}{2} + \arctg(3) + \arctg(7)+ \frac{\pi}{4}+\arctg(3) = \frac{\pi}{2}+ 2\arctg(3)+\arctg(7) + \\ +\frac{\pi}{4}= \frac{\pi}{2}+ \frac{3}{2}\pi =2\pi\)

Proszę sprawdzić.

Całka po jednostkowym okręgu - zorientowanym dodatnio pracy tego pola, też równa jest \(2\pi.\)

Pozostało potwierdzenie wyniku \(2\pi\) wzorem Greena.

Kordyt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Całka krzywoliniowa po trójkącie

Post autor: Kordyt » 11 gru 2018, o 12:10

Studniek pisze: Pole nie jest potencjalne, w \(\mathbb{R}\setminus\lbrace \left( 0,0 \right) \rbrace\), więc nie można korzystać z Greena.
Gdyby pole było potencjalne to całka po drodze zamkniętej by się zerowała, co z resztą również wychodzi z tw. Greena.

ODPOWIEDZ