Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: magdabp » 6 paź 2007, o 21:22

Zbadać zbieżność i wyznaczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) określonego wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ (a) a_1=\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{5+a_n}}\)
\(\displaystyle{ n N}\)


\(\displaystyle{ (b) a_1=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})}\)
\(\displaystyle{ n N}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 6 paź 2007, o 21:53

a) Niech nasza granica x będzie równa:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}\) skoro dążymy tu do nieskończoności możemy sobie założyć, że:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}}\) liczysz tu sobie równanie kwadratowe i wychodzi granica:
\(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}}\)

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: liu » 6 paź 2007, o 22:18

A skad wiesz, ze ta granica istnieje?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 6 paź 2007, o 22:24

Wiem, przydałoby się to bardziej sformalizować. No, mogę choćby wywnioskować, że ta granica istnieje, bo mogę sobie walnąć ograniczenie z góry oraz z dołu. Poza tym, przyjmując założenia o tym, że n dąży do nieskończoności, zapis, który wykonałem jest poprawny.

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: liu » 6 paź 2007, o 22:28

To, ze ciag jest ograniczony nie oznacza, ze jest zbiezny:)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 6 paź 2007, o 22:31

Nawet jeśli przyłożę ograniczenie z obu stron? Może masz rację, ale czy mógłbyś podać mi przykład ciągu ograniczonego z góry i z dołu, który jest rozbieżny?

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: liu » 6 paź 2007, o 22:40

\(\displaystyle{ a_n = (-1)^n}\)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: g-dreamer » 6 paź 2007, o 22:42

1) jest ograniczony i rosnący => zbieżny?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 6 paź 2007, o 22:44

No dobrze, ale w tym przypadku akurat \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}}\) nie jest dobrym przykładem. Nasz ciąg jest rosnący, nie jest przemienny, więc w mojej opinii jest zbieżny.

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: liu » 6 paź 2007, o 22:47

Dlaczego nie jest dobrym przykladem?

Owszem, to jest prawda, ciag ktory rozwazamy jest zbiezny, ale wlasnie dlatego, ze jest ograniczony z gory i ROSNACY. I na to sformulowanie czekalem. Bez tego to jest jakas 1/4 zadania zrobiona.

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

Post autor: g-dreamer » 6 paź 2007, o 23:15

b)zróbmy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ a_n>1 \frac{1}{a_n} < 1}\)
\(\displaystyle{ 1/2(a_n+\frac{1}{a_n})}\)

ODPOWIEDZ