Zastosowanie rachunku różniczkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
secter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 6 lip 2017, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąporków

Zastosowanie rachunku różniczkowego

Post autor: secter » 8 gru 2018, o 11:16

Dzień dobry. Jest ktoś w stanie pomóc w rozwiązaniu tego zadania? Totalnie nie wiem jak się za to zabrać.

\(20\) litrowy pojemnik zawiera powietrze \(\left( 80 \% \ azotu \ i \ 20 \% \ tlenu\right)\). Do naczynia wpływa \(0.1\) litra azotu na sekundę. Zakładamy, że azot rozprowadza się w naczyniu równomiernie i błyskawicznie. Po jakim czasie będzie w naczyniu \(99 \%\) azotu?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Zastosowanie rachunku różniczkowego

Post autor: janusz47 » 8 gru 2018, o 19:45

\(x(t)\) stężenie azotu w chwili \(t, \ \ t>0.\)

\(x'(t) = \frac{0,1}{20}x(t) = \frac{1}{200}x(t) \ \ (1)\)

Równanie (1) jest równaniem o zmiennych rozdzielających się:

\(\frac{1}{200} \cdot t + C_{1} =\int dt = \int \frac{x'(t) dt}{x(t)} = \int\frac{dx}{x}.\)

Stąd

\(\ln |x|= \frac{1}{200}t +C_{1},\)

\(\pm x = Ce^{\frac{1}{200}t}, \ \ C = e^{C_{1}\)

Z warunku początkowego:

\(x(0) = 0,80\)

\(0,80 = Ce^{\frac{1}{200}\cdot 0}\)

\(C = 0,80.\)

Stężenie azotu w pojemniku w chwili t opisuje funkcja:

\(x(t) = 0,80 e^{\frac{1}{200}\cdot t}\)

Z treści zadania:

\(0,99 = 0,80\cdot e^{\frac{1}{200}\cdot t}\)

\(t \approx 43 s.\)

Po około \(43\) sekundach stężenie azotu w pojemniku osiągnie wartość \(0,99\%.\)
Ostatnio zmieniony 9 gru 2018, o 00:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ