Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
K4c2m4r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 sty 2007, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 6 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: K4c2m4r » 6 paź 2007, o 21:08

Mam problem z rozwiazaniem tej calki:
\(\displaystyle{ \iiint z\sqrt{x^{2}+y^{2}dxdydz}\)
Dla bryly ograniczonej przez powierzchnie:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2z=0}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3}\) w I oktecie
Oczywiscie moj problem to okreslenie przedzialow calkowania.
Doszedlem do tego, ze jest to czesc sfery i przecinajaca ja parabola hiperboliczna, jednak nie wiem co dalej Mysle ze potrzebne beda wspolrzedne sferyczne. Dzieki za pomoc.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: luka52 » 6 paź 2007, o 21:19

Obszar jest ograniczony od dołu przez powierzchnię \(\displaystyle{ z = \frac{x^2 + y^2}{2}}\), a od góry przez górną część sfery \(\displaystyle{ z = \sqrt{3 - x^2 - y^2}}\)
Same obliczenia całki (btw. to dxdydz, to chyba poza pierwiastkiem winno być? ) wygodnie będzie prowadzić we współrzędnych cylindrycznych, wtedy:

\(\displaystyle{ \int \limits_{0}^{2 \pi} t\limits_0^{\sqrt{2}} t \limits_{\frac{\rho^2}{2}}^{\sqrt{3 - \rho^2}} z \rho^2 \, \mbox{d}z \, \mbox{d}\rho \, \mbox{d}\theta}\)
no a dalej już w miarę prosto jest...

K4c2m4r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 sty 2007, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 6 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: K4c2m4r » 6 paź 2007, o 23:22

A czy moglbys jeszcze wyjasnic skad takie a nie inne granice calkowania?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: luka52 » 6 paź 2007, o 23:38

Najpierw przekształcemy równania powierzchni, tj.:
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2z = 0 z = \frac{x^2 + y^2}{2}\\
x^2 + y^2 + z^2 = 3 z = \sqrt{3 - (x^2 + y^2)}}\)

I teraz skoro zamierzamy przeprowadzić obliczenia we wsp. cylindrycznych, to podstawiamy:
\(\displaystyle{ x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta}\)
i otrzymujemy to co jest w granicach całkowania.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: Amon-Ra » 7 paź 2007, o 16:14

K4c2m4r pisze:przecinajaca ja parabola hiperboliczna
Akurat nie hiperboliczna, a obrotowa .
Luka52, całkujemy tylko w pierwszym oktancie.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 16:32

Amon-Ra, czyżbym coś przeoczył?

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: Amon-Ra » 7 paź 2007, o 22:32

Całkujesz po kącie w przedziale do kąta pełnego.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 22:35

Wybacz, ale nadal nie bardzo rozumiem...

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: Amon-Ra » 7 paź 2007, o 22:57

Skoro interesuje nas bryła położona w pierwszym oktancie, to nie możesz całkować po kącie do 2Π, bo tym samym obejmujesz cztery oktanty - na jeden oktant wystarczy, jeżeli zakres zmienności kąta ograniczymy do Π/2 .

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 22:59

Amon-Ra, aa... ....le ze mnie gapa - faktycznie umknęło to mojej uwadze gdy czytałem treść zadania.

ODPOWIEDZ