Równanie różniczkowe fizyczne

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
kate1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 gru 2018, o 09:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe fizyczne

Post autor: kate1998 » 6 gru 2018, o 09:31

Po wyłączeniu silnika łódź zwalnia po działaniem oporu wody, który jest proporcjonalny do prędkości łodzi. Początkowa prędkość łodzi \(\displaystyle{ V _{0} =2\frac{m}{s}}\) , a po \(\displaystyle{ 4}\) sekundach jej prędkość wynosiła \(\displaystyle{ 1 \frac{m}{s}}\). Po jakim czasie łódź będzie miała prędkość \(\displaystyle{ 0,25 \frac{m}{s}}\) ?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2018, o 09:40 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5153
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1132 razy

Równanie różniczkowe fizyczne

Post autor: janusz47 » 6 gru 2018, o 15:53

Analiza zadania

Opór wody jest proporcjonalny do prędkości łodzi.

Na płynącą łódź działa siła:

\(\displaystyle{ F = -k\cdot x \ \ (1)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ k}\) - współczynnik proporcjonalności.

Według Prawa Newtona siła ta jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia

\(\displaystyle{ F = m\cdot \frac{dv}{dt} \ \ (2)}\)

Biorąc pod uwagę równania (1), (2) możemy zapisać równanie różniczkowe ruchu łodzi w postaci:

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dv}{dt} = -k\cdot v \ \ (3)}\)

Rozwiązanie

Równanie (3) jest równaniem o zmiennych rozdzielających.

Rozdzielając zmienne, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.}\)

Po scałkowaniu

\(\displaystyle{ \ln(v) = -\frac{k}{m}t + A}\)

Ogólne rozwiązanie równania (3)

\(\displaystyle{ v(t) = e^{-\frac{k}{m}t +A}= e^{A}\cdot e^{-\frac{k}{m}t}= Ce^{-\frac{k}{m}t}, \ \ C = e^{A}.}\)

Uwzględniając warunek początkowy: \(\displaystyle{ v(0) = 2\frac{m}{s}}\) mamy:

\(\displaystyle{ 2 = C\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot 0} \ \ C = 2.}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ v(t) = 2e^{-\frac{k}{m}t}}\)

Z warunku dodatkowego, że po \(\displaystyle{ 4}\) sekundach prędkość łodzi wynosiła \(\displaystyle{ v(4) = 1\frac{m}{s}}\)

\(\displaystyle{ 1 = 2e^{-\frac{k}{m}\cdot 4}, \ \ e^{-\frac{k}{m}4} = \frac{1}{2} \ \ e^{-\frac{k}{m}}= \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}.}\)

Łódż będzie miała prędkość równą \(\displaystyle{ 0,25 = \frac{1}{4}\frac{m}{s}}\) po czasie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} = 2\left[ \left( \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}\right]^{t}}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{4}t}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}t =3, \ \ t =12 s.}\)

Łódź będzie miała prędkość \(\displaystyle{ 0,25 \frac{m}{s}}\) po \(\displaystyle{ 12}\) sekundach.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6360
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1027 razy

Re: Równanie różniczkowe fizyczne

Post autor: kruszewski » 7 gru 2018, o 00:56

Czwarte równanie
\(\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.}\)

łatwo jest też otrzymać z równania popędu masy:

\(\displaystyle{ m dv = - Fdt}\), gdzie z racji proporcjonalności: \(\displaystyle{ F=v \cdot k}\)



i dalej tak, jak pokazał to pan Janusz47

ODPOWIEDZ