Twierdzenie Czebyszewa o alternansie
: 5 gru 2018, o 16:32
Witam, mam problem z rozwiązaniem takiego zadania.
Niech \(\displaystyle{ X = C\left( \left[ -1, 1\right] \right)}\). Korzystając z twierdzenia Czebyszewa o alternansie dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \left| x \right|}\) wyznaczyć element optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej, w podprzestrzeni wielomianów co najwyżej drugiego stopnia.
Poszukuję elementu optymalnego w przestrzeni o wymiarze 3. Z racji tego, że funkcja f jest parzysta, to i element optymalny będzie parzysty. Konkretnie - jego postać to: \(\displaystyle{ w(x) = ax^2 + c}\).
Alternans będzie 4 punktowy. \(\displaystyle{ \left\{ -1, x_1, x_2, 1\right\}}\).
Pomyślałem sobie, że skoro f-w jest nieparzysta, to \(\displaystyle{ x_1 = -x_2}\), bo ekstrema będą w punktach z przeciwnym znakiem, ale to chyba nadal mało. Na pewno wiemy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(-1) - w(-1) = f(x_2) - w(x_2) \\ f(-1) - w(-1) = f(x_1) - w(x_1) \end{cases}}\)
Nie wiem jakie dodać kolejne równania, bo \(\displaystyle{ f}\) jest nieróżniczkowalna w zerze. Próbowałem to rozgryźć sprawdzając co się dzieje dla przedziałów \(\displaystyle{ left[ -1 , 0
ight)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 0, 1\right]}\), ale wychodziły mi jakieś głupoty. Proszę o pomoc.
Niech \(\displaystyle{ X = C\left( \left[ -1, 1\right] \right)}\). Korzystając z twierdzenia Czebyszewa o alternansie dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \left| x \right|}\) wyznaczyć element optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej, w podprzestrzeni wielomianów co najwyżej drugiego stopnia.
Poszukuję elementu optymalnego w przestrzeni o wymiarze 3. Z racji tego, że funkcja f jest parzysta, to i element optymalny będzie parzysty. Konkretnie - jego postać to: \(\displaystyle{ w(x) = ax^2 + c}\).
Alternans będzie 4 punktowy. \(\displaystyle{ \left\{ -1, x_1, x_2, 1\right\}}\).
Pomyślałem sobie, że skoro f-w jest nieparzysta, to \(\displaystyle{ x_1 = -x_2}\), bo ekstrema będą w punktach z przeciwnym znakiem, ale to chyba nadal mało. Na pewno wiemy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(-1) - w(-1) = f(x_2) - w(x_2) \\ f(-1) - w(-1) = f(x_1) - w(x_1) \end{cases}}\)
Nie wiem jakie dodać kolejne równania, bo \(\displaystyle{ f}\) jest nieróżniczkowalna w zerze. Próbowałem to rozgryźć sprawdzając co się dzieje dla przedziałów \(\displaystyle{ left[ -1 , 0
ight)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 0, 1\right]}\), ale wychodziły mi jakieś głupoty. Proszę o pomoc.