Matematyka.pl

Witam, otóż polecenie zadania brzmi: Trzy liczby dodatnie, których suma wynosi 39, a suma ich odwrotności jest równa 0,(481), są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby.

Doszedłem do momentu zrobienia układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2}=39 \\ \frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{1}q}+ \frac{1}{a_{1}q^{2} } = \frac{481}{999} \end{cases}}\)

Nie mam pewności czy jest dobrze, chociaż wydaje mi się, że tak, ale i tak nie wiem jak mam go ruszyć dalej.

Odp to: 3,9,27

Ktoś wie?

\(\displaystyle{ \frac{481}{999} = \frac{13}{27}}\)
Dwa równania, dwie niewiadome, w czym problem ?
Sprowadź drugie równanie do wspólnego mianownika.

\(\displaystyle{ \frac{481}{999}=\frac{13}{27}}\), od tego zacznijmy.
Sprowadź drugie równanie do postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1 q^2}\left( 1+q+q^2\right) =\frac{13}{27}}\), podziel pierwsze równanie stronami przez przekształcone drugie równanie, a otrzymasz:
\(\displaystyle{ (a_1 q)^2=81\\ a_1 q=9 \vee a_1 q=-9}\).
Drugą możliwość łatwo odrzucasz, gdyż liczby miały być dodatnie, zostaje \(\displaystyle{ a_1 q=9}\),
a dalej chyba sobie poradzisz, wyznaczasz np. zależność \(\displaystyle{ a_1}\) od \(\displaystyle{ q}\) i podstawiasz choćby do pierwszego równania. Po pomnożeniu tego stronami przez \(\displaystyle{ q}\) dostaniesz trywialne równanie kwadratowe do rozwiązania.