Równanie różniczkowe . Ćwiczenie z treścią

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
kundelko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 21 cze 2018, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe . Ćwiczenie z treścią

Post autor: kundelko » 4 gru 2018, o 11:04

Witam . Prosił bym o pomoc w rozwiązaniu zadania z rachunku różniczkowego

Zad .
Butelka wody w temperaturze początkowej 25 C umieszczona w lodówce o temperaturze wewnętrznej 5 C
.Biorąc pod uwagę że temperatura wody wynosiła 20 C dziesięć minut po umieszczeniu w lodówce ,jaka będzie temperatura wody po godzinie ?

Z góry dziękuje .

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5027
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Równanie różniczkowe . Ćwiczenie z treścią

Post autor: janusz47 » 4 gru 2018, o 21:51

Prawo stygnięcia Newtona

Szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur między ciałem i otoczeniem.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ T(t)}\) temperaturę butelki z wodą w chwili \(\displaystyle{ t ,}\) przy czym spełnione są równania:

\(\displaystyle{ T(0)= 25^{o}C.}\)

\(\displaystyle{ T(10) = 20^{o}C.}\)

Niech \(\displaystyle{ k}\) oznacza współczynnik proporcjonalności.

Dla dostatecznie małej liczby \(\displaystyle{ \Delta t}\) zachodzi przybliżona równość:

\(\displaystyle{ \frac{T(t+\Delta t) - T(t)}{\Delta T} \approx k( T(t) - 5)}\)

Przy przejściu do granicy przy \(\displaystyle{ \Delta T \rightarrow 0}\) otrzymujemy równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ T'(t) = k(T(t) - 5)}\)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

\(\displaystyle{ k\cdot t + C = \int k\cdot dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt = \int \frac{dT}{T- 5}= \ln(|T- 5|)}\)

Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ T > 5.}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ T - 5 = T(t) -5 = e^{C}\cdot e^{kt}}\)

Mamy \(\displaystyle{ 25 = T(0) = 5+ e^{C}\cdot e^{0\cdot t} \ \ (1)}\)

oraz

\(\displaystyle{ 20 = 5 + e^{C}\cdot e^{k\cdot 10} \ \ (2)}\)

Z równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\)

\(\displaystyle{ e^{C} = 20}\) i \(\displaystyle{ 15 = 20 e^{k\cdot 10}, \ \ k = \frac{1}{10}\ln(0,75),\ \ k\approx -0,03.}\)

\(\displaystyle{ T(t) = 5 + 20 e^{-0,03\cdot t}}\)

Temperatura wody w butelce po \(\displaystyle{ 1}\) godzinie wynosi:

\(\displaystyle{ T(60) = 5 +20e^{-0,03 \cdot 60}\approx 8^{o}C.}\)

ODPOWIEDZ