Zastosowanie twierdzenia Picarda (?)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
nek0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2018, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Klucze

Zastosowanie twierdzenia Picarda (?)

Post autor: nek0 » 2 gru 2018, o 18:04

Cześć! Mam pewien problem z zastosowaniem twierdzenia Picarda do następującego zadania:
Nie rozwiązując równania określić czy poniżej podany problem poczatkowy
ma rozwiązanie w podanym przedziale i czy to rozwiązanie jest dokładnie
jedno:
\(\displaystyle{ y'(t) = \sqrt{t} - \frac{y(t)}{t - 2}, 3 < t < 5, y(4) = 10,}\)

tak więc stwierdziłem, że poprawnym sposobem jest zastosowanie twierdzenia Picarda, więc układam sobie nierówność:

\(\displaystyle{ \exists L \quad \forall y_1, y_2 \in (y_0 - b, y_o + b) : |f(t, y_1) - f(t, y_2) \le L|y_1 - y_2|,}\)
czyli w moim przypadku:

\(\displaystyle{ \frac{|-y_1 + y_2|}{t - 2} \le L|y_1 - y_2|,}\)

no i teraz pytanie czy ten przedział z \(\displaystyle{ y_0}\) mogę sobie dobrać dowolnie? No i w ogóle jak się zabrać za tę nierówność.

Z góry dzieki za pomoc -- 2 gru 2018, o 18:37 --Znalazłem mały błąd w przekształceniu i teraz:

\(\displaystyle{ |-\frac{y_1 - y_2}{t-2}| \le |y_1 - y_2|,}\)

\(\displaystyle{ |\frac{y_1 - y_2}{2-t}| \le |y_1 - y_2|,}\)

skoro \(\displaystyle{ t \in (3, 5) \implies 2 - t < 0}\) więc,

\(\displaystyle{ \frac{|y_1 - y_2|}{t-2} \le |y_1 - y_2|,}\)

\(\displaystyle{ |y_1 - y_2| \le (t - 2)|y_1 - y_2|}\)

\(\displaystyle{ L = t - 2 \wedge t \in (3, 5) \implies L > 0,}\)

czy to kończy dowód tego przykładu?

ODPOWIEDZ