Znależć równanie krzywej o Własności

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: maritka210 » 1 gru 2018, o 15:31

Znaleźć równanie krzywej o tej własności, że promień krzywizny jest proporcjonalny do długości normalnej.
Promień krzywizny krzywej \(y(x)\) określony jest wzorem

\(R = \frac{(1+y'^2)^ \frac{3}{2} }{\left| y''\right| }\)

Długość normalnej jest to długość odcinka na normalnej do krzywej, łączącego punkt na krzywej z punktem przecięcia normalnej z osią Ox.
Ostatnio zmieniony 1 gru 2018, o 16:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 576
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk

Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: Peter Zof » 1 gru 2018, o 16:07

Rozumiem, że ograniczamy się do krzywych planarnych które są wykresami funkcji? Jeśli tak to bierzesz krzywą \(\gamma(t)=(t,f(t))\) i starasz znaleźć warunki jakie musi spełniać \(f\). Masz zatem w każdym "czasie"\(t\) liczbę \(R_{\gamma}(t)=R(t)=\frac{(1+f'(t)^2)^{3/2}}{|f''(t)|}\) jak zapewne wiesz, jest to długość okręgu ściśle stycznego do \(\gamma\) w \(t\). To co musisz zrobić to wyliczyć równanie prostej normalnej \(N_{t}(s)\) do \(\gamma\) w czasie \(t\). Równanie tej prostej ma postać \(N_t(s)=- \frac{s-t}{f'(t)}+f(t)\right)\). Interesuje Cię argument \(s\) dla którego prosta \(N_t\) przecina oś \(OX\). Musisz więc rozwiązać równanie \(N_t(s)=0\), powinno wyjść, że \(s=f(t)f'(t)-t\). Zatem punkty wyznaczające końce interesującego Cię odcinka to: \(P_1(t)=(t,f(t)),P_2(t)=(f(t)f'(t)-t,0)\). To co pozostaje to wyliczyć długość \(d(t)\) odcinka \(\overline{P_1(t)P_2(t)}\) i rozwiązać równanie na proporcjonalność, tzn. aby dla stałej \(\lambda \in \mathbb{R}\) i każdego \(t\) zachodziła równość: \(R(t)=\lambda d(t)\). Tak więc będziesz musiała zmierzyć się z równaniem różniczkowym ^^
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 00:51 przez Peter Zof, łącznie zmieniany 1 raz.

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: maritka210 » 2 gru 2018, o 00:47

Niestety przerasta mnie to zadanie. Jest ktoś na forum, kto umie rozwiązać to zadanie całościowo?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3706
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: arek1357 » 2 gru 2018, o 01:10

Upraszczając:

Długość normalnej to:

\(y \sqrt{1+y'^2}\)

masz więc równanie:

\(y \sqrt{1+y'^2}= a\frac{(1+y'^2) \sqrt{1+y'^2} }{|y''|}\)

lub:

\(y= a\frac{(1+y'^2) }{|y''|}\)


podstaw:

\(y'=u\)

\(y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=u \frac{du}{dy}\)

to podstawienie załatwia sprawę równania...

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: maritka210 » 2 gru 2018, o 11:06

Długość normalnej to: \(y \sqrt{1+y'^2}\)

Otrzymujemy równanie : \(y \sqrt{1+y'^2}= a\frac{(1+y'^2) \sqrt{1+y'^2} }{|y''|}\)

lub \(y= a\frac{(1+y'^2) }{|y''|}\)

podstawiamy :

\(y'=u\)

\(y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=u \frac{du}{dy}\)

\(y = a \cdot \frac{(1 + u^2)}{\left| u \frac{du}{dy}\right| }\)

\(\frac{du}{dy} = - \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u} \quad \vee \quad \frac{du}{dy} = \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}\)

Dla : \(\frac{du}{dy} = - \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}\)

\(\frac{du}{dy} = - \frac{a( \frac{1}{u} + u )}{y} / : ( \frac{1}{u}+u)\)

\(\frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } = - \frac{a}{y}\)

\(\int_{}^{} \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } dy = \int_{}^{} - \frac{a}{y} dy\)

\(\frac{1}{2} log(u^2 + 1 ) = -alog(y) +C1\)

\(u = - \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 }\)

Dla : \(\frac{du}{dy} = \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}\)

\(\frac{du}{dy} = \frac{a( \frac{1}{u} + u )}{y} / : ( \frac{1}{u}+u)\)

\(\frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } = \frac{a}{y}\)

\(\int_{}^{} \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } dy = \int_{}^{} \frac{a}{y} dy\)

\(\frac{1}{2} log(u^2 + 1) = alog(y) + C1\)

\(u = - \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 }\)



wyniki

\(u = - \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 } \quad \vee \quad u = - \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 }\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3706
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: arek1357 » 2 gru 2018, o 12:19

W sumie fajnie tylko trzeba dokończyć:

\(u= \frac{dy}{dx}\)

szczerze to dla.: \(a \neq 1\) ta całka będzie wyglądała nieciekawie prawdziwy Meksyk... , ale pobaw się tym...

ODPOWIEDZ