Mam problem z wyznaczeniem rodzin krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych :
\(\displaystyle{ y'= 1+ y^2}\)
Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 31 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny
\(\displaystyle{ -\frac{1}{y'} = -(1 +y^2)^{-1}}\)
\(\displaystyle{ y' = 1 +y^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{(1+y^2)} = dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{(1+y^2)} =dx}\)
\(\displaystyle{ \arctg(y) = x +C}\)
\(\displaystyle{ \arctg(y) - x = C.}\)
\(\displaystyle{ y' = 1 +y^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{(1+y^2)} = dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{(1+y^2)} =dx}\)
\(\displaystyle{ \arctg(y) = x +C}\)
\(\displaystyle{ \arctg(y) - x = C.}\)
Ostatnio zmieniony 1 gru 2018, o 20:41 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 31 razy
Re: Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodz
jak zamieniłeś \(\displaystyle{ y'}\) na \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny
Napisałem odwrotność \(\displaystyle{ y'}\) z minusem, bo równanie rodziny trajektorii ortogonalnej ma postać:
\(\displaystyle{ mathcal{K}left(x_{1}, y_{1}, -frac{1}{frac{dy_{1}}{dx{1}}}
ight) = 0.}\)
426893.htm?hilit=%20rodzina%20ortogonalna
\(\displaystyle{ mathcal{K}left(x_{1}, y_{1}, -frac{1}{frac{dy_{1}}{dx{1}}}
ight) = 0.}\)
426893.htm?hilit=%20rodzina%20ortogonalna
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 31 razy
Re: Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodz
Zauważyłam, że coś zmieniłeś. Wyjaśnisz dlaczego?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny
Zapisałem lewą i prawą stronę równania różniczkowego w postaci \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}.}\)-- 2 gru 2018, o 12:19 --Wyznaczając rodzinę trajektorii ortogonalnych danych równaniem:
\(\displaystyle{ y' = 1 +y^2}\) zamieniamy w tym równaniu \(\displaystyle{ y'}\) na \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\) (współczynnik kierunkowy linii ortogonalnej )
Otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{y'} = 1 +y^2}\)
Z tego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ y'}\)
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1+y^2}}\)
\(\displaystyle{ (1+y^2)dy = -dx}\)
\(\displaystyle{ \int( 1+y^2)dy = -\int dx}\)
\(\displaystyle{ y + \frac{1}{3}y^3 =-x +C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}y^3 +y +x = C \ \ (1)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (1)}\)jest równaniem rodziny trajektorii ortogonalnych
Przepraszam za zamieszanie.
\(\displaystyle{ y' = 1 +y^2}\) zamieniamy w tym równaniu \(\displaystyle{ y'}\) na \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\) (współczynnik kierunkowy linii ortogonalnej )
Otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{y'} = 1 +y^2}\)
Z tego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ y'}\)
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1+y^2}}\)
\(\displaystyle{ (1+y^2)dy = -dx}\)
\(\displaystyle{ \int( 1+y^2)dy = -\int dx}\)
\(\displaystyle{ y + \frac{1}{3}y^3 =-x +C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}y^3 +y +x = C \ \ (1)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (1)}\)jest równaniem rodziny trajektorii ortogonalnych
Przepraszam za zamieszanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 31 razy
Re: Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodz
Mam jeszcze pytanie jak dla \(\displaystyle{ y'= 1+ y^2}\) wyznaczyć obszar \(\displaystyle{ \Omega}\) w którym równanie będzie miało dokładnie jedno rozwiązanie:
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 12:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.