Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny

Post autor: maritka210 » 1 gru 2018, o 15:26

Mam problem z wyznaczeniem rodzin krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych :

\(\displaystyle{ y'= 1+ y^2}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny

Post autor: janusz47 » 1 gru 2018, o 19:39

\(\displaystyle{ -\frac{1}{y'} = -(1 +y^2)^{-1}}\)

\(\displaystyle{ y' = 1 +y^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{(1+y^2)} = dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{(1+y^2)} =dx}\)

\(\displaystyle{ \arctg(y) = x +C}\)

\(\displaystyle{ \arctg(y) - x = C.}\)
Ostatnio zmieniony 1 gru 2018, o 20:41 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodz

Post autor: maritka210 » 1 gru 2018, o 20:08

jak zamieniłeś \(\displaystyle{ y'}\) na \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\)?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny

Post autor: janusz47 » 1 gru 2018, o 20:20

Napisałem odwrotność \(\displaystyle{ y'}\) z minusem, bo równanie rodziny trajektorii ortogonalnej ma postać:

\(\displaystyle{ mathcal{K}left(x_{1}, y_{1}, -frac{1}{frac{dy_{1}}{dx{1}}} ight) = 0.}\)

426893.htm?hilit=%20rodzina%20ortogonalna

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodz

Post autor: maritka210 » 2 gru 2018, o 02:00

Zauważyłam, że coś zmieniłeś. Wyjaśnisz dlaczego?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny

Post autor: janusz47 » 2 gru 2018, o 10:10

Zapisałem lewą i prawą stronę równania różniczkowego w postaci \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}.}\)-- 2 gru 2018, o 12:19 --Wyznaczając rodzinę trajektorii ortogonalnych danych równaniem:

\(\displaystyle{ y' = 1 +y^2}\) zamieniamy w tym równaniu \(\displaystyle{ y'}\) na \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\) (współczynnik kierunkowy linii ortogonalnej )

Otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{y'} = 1 +y^2}\)

Z tego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ y'}\)

\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1+y^2}}\)

\(\displaystyle{ (1+y^2)dy = -dx}\)

\(\displaystyle{ \int( 1+y^2)dy = -\int dx}\)

\(\displaystyle{ y + \frac{1}{3}y^3 =-x +C}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}y^3 +y +x = C \ \ (1)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (1)}\)jest równaniem rodziny trajektorii ortogonalnych

Przepraszam za zamieszanie.

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodz

Post autor: maritka210 » 2 gru 2018, o 12:08

Mam jeszcze pytanie jak dla \(\displaystyle{ y'= 1+ y^2}\) wyznaczyć obszar \(\displaystyle{ \Omega}\) w którym równanie będzie miało dokładnie jedno rozwiązanie:
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 12:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

ODPOWIEDZ