Rozwiązać równanie Clairauta

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Rozwiązać równanie Clairauta

Post autor: maritka210 » 1 gru 2018, o 15:23

Mam problem z rozwiązaniem równania Clairauta, czy jest mi w stanie ktoś z nim pomoć?

\(x = y'^3 + y'\)
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 12:12 przez maritka210, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Rozwiązać równanie Ricattiego

Post autor: szw1710 » 1 gru 2018, o 18:10

To nie jest równanie Riccatiego.

Różniczkujemy względem \(x\) otrzymując \(3(y')^2y''+y''=1.\) Wstawiając nową funkcję niewiadomą \(u=y'\) dochodzimy do \(3u^2u'+u'=1,\) a to jest równanie o zmiennych rozdzielonych.

maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Rozwiązać równanie Clairauta

Post autor: maritka210 » 2 gru 2018, o 12:27

\(x = y'^3 + y'\)

\(3(y')^2y''+y''=1.\)

\(u=y'\)

\(3u^2u'+u'=1\)

\(\frac{du}{dx} + 3 \frac{du}{dx} u^2 = 1\)

\(\frac{du}{dx} = \frac{1}{3u^2 + 1} / \cdot (3u^2 +1 )\)

\(\frac{du}{dx}( 3u^2 + 1) = 1\)

\(\int_{}^{} \frac{du}{dx} (3u^2 + 1)dx = \int_{}^{} 1dx\)

\(u^3 + u = x +C1\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Rozwiązać równanie Clairauta

Post autor: arek1357 » 2 gru 2018, o 12:41

I co dalej...

doszło do zapętlenia...

a różowo nie będzie bo rozwiązanie równania trzeciego stopnia:

\(r=y'\)

\(r^3+r-x-C=0\)

Tu będzie dwa zespolone i jedno rzeczywiste, które niestety nie wygląda ciekawie


Z pomocą wolframa wygląda to tak:


\(y'=0,381571 \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }- \frac{0,87358}{ \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }}\)

\(y= \int_{}^{} \left[0,381571 \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }- \frac{0,87358}{ \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }} \right] dx\)

ODPOWIEDZ