Matematyka.pl

Dlaczego Przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ \left( X,O\right)}\) nie może być zdefiniowana za pomocą następujących aksjomatów:
\(\displaystyle{ 1.}\) Suma mnogościowa dowolnych dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
\(\displaystyle{ 2.}\) Dowolne przecięcie zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
\(\displaystyle{ 3.}\) Zbiór pusty oraz \(\displaystyle{ X}\) są zbiorami otwartymi.

Bo może się zdarzyć, że nieskończone przecięcie zbiorów otwartych może dać na wyjściu zbiór domknięty. Dlatego dopuszczamy tylko części wspólne skończonej liczby zbiorów.

To znaczy można przyjąć taka definicję ale obiekt spełniający ja byłby zupełnie nieciekawy. Np. każda taka przestrzeń metryczna byłaby dyskretna.

Gdyby przyjąć taką definicję, to teoria wyglądałaby identycznie jak obecnie, tylko słowa domknięty i otwarty zamieniłyby się miejscami.