Rozwiązanie nierówności z pierwiastkiem kwadratowym

[qua]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu nierówności z pierwiastkiem kwadratowym.

Ma ona postać:

\(\displaystyle{ 1+\sqrt{x+5} > x}\)

Wolfram pokazuje wynik: \(\displaystyle{ \langle−5,4)}\)

Taki wynik wychodzi gdy korzystam ze zmiennej pomocniczej, ale nie rozumiem,
czemu wychodzi inny, gdy rozwiązuję w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+5} > x-1}\)

\(\displaystyle{ x+5> x^2 - 2x +1}\)

\(\displaystyle{ 0>x^2-3x-4}\)

\(\displaystyle{ \Delta}\) równa \(\displaystyle{ 25}\), a pierwiastek z niej \(\displaystyle{ 5}\).

Miejsca zerowe \(\displaystyle{ -1}\),

oraz \(\displaystyle{ 4}\)

Wynik ma postać \(\displaystyle{ (-1,4)}\).

Co jest nie tak z tym rozumowaniem?

Pozdrawiam i proszę o pomoc

[Psiaczek]

masz prawdziwą nierówność:

\(\displaystyle{ 2>-3}\)

podnieś do kwadratu i dostaniesz fałszywą

\(\displaystyle{ 4>9}\)

czy to ci coś rozjaśniło?

[qua]

Chyba czaję.

Czyli zrobić na 2 przedziałach dla
\(\displaystyle{ x \in (-5,1\rangle}\)

oraz
\(\displaystyle{ x \in (1, +\infty)}\)?

[Psiaczek]

można zauważyć że dla \(\displaystyle{ -5 \le x<1}\) masz lewą stronę dodatnią a prawą ujemną , wiec spełniona nierówność dla wszystkich takich \(\displaystyle{ x}\)

i oddzielnie dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) wtedy możesz podnieść stronami do kwadratu bo obie strony nieujemne, znak nierówności się zachowa

tak jak mówisz dwa przypadki

[Dilectus]

qua, napisz tę nierówność tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+5} > x-1}\)

i narysuj wykresy lewej i prawej strony tej nierówności. -- 28 lis 2018, o 15:07 --Przede wszystkim określ dziedzinę.

\(\displaystyle{ x \ge -5}\)

Zastosuj zmienną pomocniczą

\(\displaystyle{ z= \sqrt{x+5}}\)

wtedy

\(\displaystyle{ x=z^2-5}\)

dostaniesz nierówność kwadratową

\(\displaystyle{ z>z^2-5-1}\)

czyli

\(\displaystyle{ z^2-z-6<0}\)

Rozwiąż tę nierówność, pamiętając, że

\(\displaystyle{ z \ge 0}\)

i wróć do starych zmiennych.