wykazać podzielność

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

wykazać podzielność

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 17:38

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^5 - n}\) jest podzielna przez 30.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

wykazać podzielność

Post autor: Sylwek » 6 paź 2007, o 17:45

Spróbuję pokazać sprytny dowód:
\(\displaystyle{ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)= \\ = (*) \ n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=(n^2-4)n(n-1)(n+1)+5n(n-1)(n+1)= \\ =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)}\)

Można indukcyjnie, można także w momencie oznaczonym gwiazdką powołać się na Małe Twierdzenie Fermata. Do wyboru, do koloru . Wnioski z mojego przykładu to zadanie dla Ciebie.

LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

wykazać podzielność

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 17:53

Myślę, że indukcyjnie sobie poradzę. Z tw. Fermata nie będę korzystał, bo go nie znam. Dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ