podzielność przez 11

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

podzielność przez 11

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 16:13

Ile jest takich czterocyfrowych liczb podzielnych przez 11, których cyfrą setek i cyfrą jedności jest 8? Podaj te liczby.

Oczywiście łatwo można podać te liczby. Ale chodzi mi tutaj o rozwiązanie tego. Bo nie umiem tego zapisać.

mms
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 21 razy

podzielność przez 11

Post autor: mms » 6 paź 2007, o 16:45

Szukaną liczbę możemy przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_3,a_2,a_1,a_0 \{0, 1, ..., 9\}}\) i \(\displaystyle{ a_3\neq 0}\).
Liczba \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) wtw, gdy \(\displaystyle{ 11|a_3+a_1-a_2-a_0}\) Ponieważ z zadania mamy \(\displaystyle{ a_2=a_0=8}\), więc żeby liczba \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\) była podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) liczba \(\displaystyle{ a_3+a_1-16}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) Jednak \(\displaystyle{ a_3, a_1\in \{0, 1, ..., 9\}}\) i \(\displaystyle{ a_3\neq 0}\) więc \(\displaystyle{ -15 q a_3+a_1-16 q 2}\). Zatem, żeby \(\displaystyle{ 11|a_3+a_1-16}\) musi być \(\displaystyle{ a_3+a_1-16=-11}\) lub \(\displaystyle{ a_3+a_1-16=0}\), czyli \(\displaystyle{ a_3+a_1=5}\) lub \(\displaystyle{ a_3+a_1=16}\). Mamy stąd następujące możliwości:
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)

Odpowiedź: Te liczby to \(\displaystyle{ 1848, \ 2838, \ 3828, \ 4818, \ 5808, \ 7898, \ 8888, \ 9878}\).
Ostatnio zmieniony 6 paź 2007, o 18:18 przez mms, łącznie zmieniany 2 razy.

LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

podzielność przez 11

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 17:29

Odpowiedź powinna być następująca:

Tych liczb jest 8. Najmniejsza to 1848 a największa 9878.Można to sprawdzić na kalkulatorze. Nadal nie wiem jak to zapisać. Twój zapis pewnie jest częściowo dobry, ale gdzieś musi być błąd.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

podzielność przez 11

Post autor: Sylwek » 6 paź 2007, o 17:31

Hmm, kolega mms nie uwzględnił jeszcze przypadków, gdy \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}=16}\), czyli liczb:

7898
8888
9878

I by było na tyle

LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

podzielność przez 11

Post autor: LySy007 » 6 paź 2007, o 17:33

Masz rację Sylwek. Też to przeanalizowałem i zauważyłem. Dzięki Wam obu za pomoc.

mms
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 21 razy

podzielność przez 11

Post autor: mms » 6 paź 2007, o 18:14

Sylwek pisze:Hmm, kolega mms nie uwzględnił jeszcze przypadków, gdy \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}=16}\), czyli liczb:

7898
8888
9878
To prawda, zapomniałem o tym. Ale po uwzględnieniu tego przypadku jest ok.

ODPOWIEDZ