Oblicz granice

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
problem_matematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Oblicz granice

Post autor: problem_matematyczny » 22 lis 2018, o 20:18

Witam zadanie brzmi:
Oblicz granicę:
\(\sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}\)

Chciałem to zrobić, przez szacowanie z trzech ciągów, bo innego pomysłu nie mam, ale chyba nie wychodzi.

bo szacuje \(\sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \le \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}}\)

\(\sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}} = \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n ^{4} }\)

i teraz, \(\lim_{ x\to\infty} \sqrt[n]{4} \rightarrow 1\) ale \(\sqrt[n]{n ^{4} }\) nie wiem ile przez te potęge, do\(\rightarrow 1\) ?

Czyli odpowiedzią jest 1??
Proszę o poprawę jeżeli wystąpił błąd
Ostatnio zmieniony 22 lis 2018, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \infty.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Oblicz granice

Post autor: a4karo » 22 lis 2018, o 20:21

Takie szacowanie nie jest niczym uzasadnione. Funkcje wykładnicze rosną szybciej niż potegowe.

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1398
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)

Oblicz granice

Post autor: Psiaczek » 22 lis 2018, o 20:30

dla dostatecznie dużych n

\(4 ^{n} \le 3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4} \le 4 ^{n}+4 ^{n} +4 ^{n} + 4 ^{n}\)

problem_matematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Oblicz granice

Post autor: problem_matematyczny » 22 lis 2018, o 20:30

skoro wykładnicza szybciej rośnie, to powinienem szacować z od góry przez\(\sqrt[n]{4 ^{n} +4 ^{n} +4 ^{n}+4 ^{n}}\)??
wtedy wychodzi \(\sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{ 4^{n} }\) granica pierwszego = 1 , a drugiego [ 4??
szacuje, bo chce skorzystać z twierdzenia o 3 ciagach-- 22 lis 2018, o 21:32 --czyli granica \(sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}
ightarrow 4\)
tak?

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1398
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)

Oblicz granice

Post autor: Psiaczek » 22 lis 2018, o 20:37

problem_matematyczny pisze:
czyli granica \(\sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \rightarrow 4\) tak?
zaraz cię tęgie umysły tego forum opieprzą za taki zapis ale ogólnie dobrze kombinujesz

problem_matematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Oblicz granice

Post autor: problem_matematyczny » 22 lis 2018, o 20:39

A mógłbyś jeszcze zerknąć, czy granicą:

\(a _{n}= n^{2} \left( \frac{ \sqrt{n ^{2}+1 }- \sqrt{n ^{2}-1 } }{n+1} \right)\)

granicą tego po długich przekształceniach jest 1 ?

-- 22 lis 2018, o 21:40 --

zdaje sobie sprawe, że nie jest to idealnie napisane, ale ważniejsza ejst dla mnie informacja, czy dobrze rozumuje ))

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1398
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)

Oblicz granice

Post autor: Psiaczek » 22 lis 2018, o 20:45

W tym przypadku granica wynosi \(1\) tak jak sugerujesz.

problem_matematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Oblicz granice

Post autor: problem_matematyczny » 22 lis 2018, o 20:56

Super, chyba łapie już granice, a pomożesz mi jeszcze tylko przy jednym : co mam zrobić z takim fantem, jak po przekształceniach mam:

\(a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1}\) i to po moich przekształceniach wyszło \(-e ^{0} =1\)
???

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

Oblicz granice

Post autor: piasek101 » 22 lis 2018, o 21:07

problem_matematyczny pisze: wyszło \(-e ^{0} =1\)
???
Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1398
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)

Oblicz granice

Post autor: Psiaczek » 22 lis 2018, o 21:15

piasek101 pisze:Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.
7 lat mnie nie było na tym forum a piasek nic się nie zmienił Istotnie tak nie wyjdzie, wydaje mi się że prawidłowa odpowiedź to \(e^{-2}\) ale nie mam siły wypisywać rozwiązania

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

Oblicz granice

Post autor: piasek101 » 22 lis 2018, o 21:18

Ty też się nie zmieniłeś - pomagasz podając (tak tyle wyjdzie).

problem_matematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Oblicz granice

Post autor: problem_matematyczny » 22 lis 2018, o 21:34

\(a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1} = \left( \frac{n ^{2}(1- \frac{1}{n ^{2} }) }{n ^{2}(1+ \frac{2}{n}- \frac{1}{n ^{2} } } \right) ^{n+1}\)
skracam \(n ^{2}\) ze sobą
\(= \frac{(1+ \frac{-1}{n ^{2}) } ^{n+1}}{(1) ^{n+1} }\)
W mianowniku już nie przepisywałem \(+ \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }\) bo one dążą do zera

Dalej zrobiłem by było czytelniej podziele:
Licznik:\([(1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} } ] ^{ \frac{n+1}{n ^{2} } }\)
i stąd \((1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} \rightarrow e ^{-1}\) no i to jeszcze jest do potęgi \(\frac{n+1}{n ^{2}} = \frac{n(1+ \frac{1}{n} }{n ^{2} } } \rightarrow \frac{1}{n} \rightarrow 0\)
czyli granica z licznika to \(\rightarrow (e ^{-1}) ^{0} = 1\)
i jeszcze podzielić przez mianownik : \((1) ^{n+1} \rightarrow 1\)
czyli ostateczna granica to \(= 1\)

-- 22 lis 2018, o 22:40 --

a mozecie spojrzeć gdzie jest błąd ?
Ostatnio zmieniony 22 lis 2018, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Oblicz granice

Post autor: a4karo » 22 lis 2018, o 21:51

Tam gdzie nie przepisywałes. Nie wolno tak robić

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

Oblicz granice

Post autor: piasek101 » 22 lis 2018, o 21:51

Niektóre (bo Ci pasowało) ułamki z mianownika dążą do zera, a ten z licznika nie - przecież też dąży do zera.

Mamy \(\left(1+\frac{-2}{\frac{n^2+2n-1}{n}}\right)^{n+1}\)

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1398
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)

Oblicz granice

Post autor: Psiaczek » 22 lis 2018, o 21:54

problem_matematyczny pisze:W mianowniku już nie przepisywałem \(+ \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }\) bo one dążą do zera
I wszystko jasne. Tak nie wolno.

Zrób tak (opowiem ci tylko, bo nie mam po długiej przerwie wprawy w latexowaniu piętrowych ułamków):
w liczniku dodaj i odejmij 2n, rozbij na różnicę "1-ułamek" gdzie ten ułamek ma w liczniku \(2n\)
Zrzuć te \(2n\) do mianownika (zrób piętrowy ułamek) a potem żongluj wykładnikami to widzę z twojego rozwiązania że w miarę potrafisz.

edit:o właśnie tak jak piasek ci rozpisał

ODPOWIEDZ