Podaj wzór na an

[problem_matematyczny]

witam, mam zadanie

Podać wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\), w postaci wielomianu zmiennej \(\displaystyle{ n \in \NN}\), jeżeli:


\(\displaystyle{ a_{n} = 5 \cdot 8 +8 \cdot 11+...+(3n+2)(3n+5)}\)

i teraz rozumiem, że mam obliczyć sumę, czyli
\(\displaystyle{ a _{n} = S= 5 \cdot 8 +8 \cdot 11+...+(3n+2)(3n+5)}\)
Zapisuje to w postaci znaku \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (3n+2)(3n+5) = \sum_{k=1}^{n} (9 k^{2}+21k+10}\) i rozbijam to na dwie sumy\(\displaystyle{ 9 \cdot \sum_{k=1}^{n} k^{2} + \sum_{k=1}^{n} (21k+10)}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}}\) można zapisać tak \(\displaystyle{ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}\) natomiast \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (21k+10)}\) to suma ciągu arytmetycznego? i co dalej mam robić?

Prosiłbym o napisanie jasnej odpowiedzi, bym mogł to przeanalizować i zrozumieć

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},}\)


\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(21k +10) = 21\left(\frac{1+n}{2}\cdot n\right) + 10n.}\)

[Rafsaf]

Uważaj na zapis:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (3n+2)(3n+5) \neq \sum_{k=1}^{n} (9 k^{2}+21k+10)}\)

Napisałeś że
1)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (9 k^{2}+21k+10)=9 \cdot \sum_{k=1}^{n} k^{2} + \sum_{k=1}^{n} (21k+10)}\)

Co jest oczywiście prawdą, ale z drugiej strony nie wiesz że to tyle samo co
2)
\(\displaystyle{ 9 \sum_{k=1}^{n} k^{2} + 21\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}10}\)

Potrafisz uzasadnić dlaczego to co zrobiłeś w 1) to prawda? Myślę że tu leży problem, ale nie jestem pewien.

[problem_matematyczny]

Napisałeś że
1)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (9 k^{2}+21k+10)=9 \cdot \sum_{k=1}^{n} k^{2} + \sum_{k=1}^{n} (21k+10)}\)

Co jest oczywiście prawdą, ale z drugiej strony nie wiesz że to tyle samo co
2)
\(\displaystyle{ 9 \sum_{k=1}^{n} k^{2} + 21\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}10}\)

A to suma nie jest rozłaczna , nie moge jej tak rozdzielać ??

[janusz47]

Możesz rozdzielić na sumy, częściowe.

\(\displaystyle{ S = 9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 21\left(\frac{1+n}{2}\cdot n\right) +10n}\)

Wykonaj działania arytmetyczne, żeby tą sumę uprościć.