Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 18 lis 2018, o 20:15

Korzystajac z Tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij zbieznosc podanych ciagów:

a) \(y_n= \frac{n^2}{5^n}\)


b) \(b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)


c) \(c_n= \frac{(n+1)^3}{n!}\)

A wiec zaczalem tak :
a) \(y_{n+1}-y_n = \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} = \frac{n+1}{5^n} = ???\)
i co dalej i czy jest dobrze
Ostatnio zmieniony 18 lis 2018, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lis 2018, o 20:19

sssebastianb5 pisze:A wiec zaczalem tak :
a) \(y_{n+1}-y_n = \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} = \frac{n+1}{5^n} = ???\)
i co dalej i czy jest dobrze
Nie, to zdecydowanie nie jest dobrze. Zacznij jeszcze raz:

\(y_{n+1}-y_n =\)

JK

sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 18 lis 2018, o 20:25

\(y_n= \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^n}\) = mogę to zapisac w ułamku \(\frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{n^2} ????\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2018, o 20:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lis 2018, o 20:35

sssebastianb5 pisze:\(\red y_n\black = \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^n}\)
Jesteś niestaranny - to nie rokuje dobrze. Czy to, co napisałeś powyżej to na pewno \(y_n\) ?
sssebastianb5 pisze:= mogę to zapisac w ułamku \(\frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{n^2} ????\)
A na jakiej podstawie miałbyś móc? Oczywiście, że nie.

Przede wszystkim powinieneś zdecydować się, co robisz. Bo najpierw zaczynasz zajmować się różnicą \(y_{n+1}-y_n\), a za chwilę pytasz się o iloraz \(\frac{y_{n+1}}{y_n}\). Monotoniczność ciągu \(y_n\) można sprawdzać badając różnicę kolejnych wyrazów, bądź badając ich iloraz, ale to trzeba wyraźnie zadeklarować.

JK

sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 18 lis 2018, o 21:43

Czyli co obliczyć \(n+1 , n+2\) i sprawdzić jak się to zachowuje ??
Ostatnio zmieniony 19 lis 2018, o 01:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 130
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: rivit » 18 lis 2018, o 22:15

\(left| frac{ a_{n+1} }{a_n} ight| < 1\)

\(frac{ a_{n+1} }{a_n} = a_{n+1} cdot frac{1}{a_n} = frac{(n+1)^2}{5^{n} cdot 5} cdot frac{5^n}{n^2} =left( frac{n+1}{n} ight)^2 cdot frac{1}{5}\)

przy \(n ightarrow infty\) pierwszy czynnik dąży do \(1\), czyli całośc dązy do \(frac{1}{5}\) co jest zgodne z tym modułem co napisałem na samej górze. Wniosek-> ciąg jest zbieżny do \(0\).

12816.htm
Ostatnio zmieniony 19 lis 2018, o 01:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: a4karo » 18 lis 2018, o 22:59

rivit pisze:\(\left| \frac{ a_{n+1} }{a_n}\right| < 1\)
A co to niby ma znaczyć: "pokażę, że ....". A może "jeżeli zachodzi ten warunek, to ciąg jest zbieżny do zera?" Chyba to drugie, bo na to powołujesz się w swoim rozwiązaniu. Ale to nie jest prawda.

\(\frac{ a_{n+1} }{a_n} = a_{n+1} * \frac{1}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{5^{n}*5} * \frac{5^n}{n^2} =\left( \frac{n+1}{n}\right)^2 * \frac{1}{5}\)

przy \(n \rightarrow \infty\) pierwszy czynnik dąży do 1, czyli całośc dązy do \(\frac{1}{5}\) co jest zgodne z tym modułem co napisałem na samej górze. Wniosek-> ciąg jest zbieżny do 0


https://www.matematyka.pl/12816.htm

sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 19 lis 2018, o 07:27

b)


\(b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)! }{n!}\) i co dalej ??
Ostatnio zmieniony 19 lis 2018, o 08:18 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: a4karo » 19 lis 2018, o 07:36

sssebastianb5 pisze:b)
\(b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)! }{n!}\) i co dalej ??
Nic dalej. Od samego początku jest źle i każda równość jest nieprawdziwa.
Ostatnio zmieniony 19 lis 2018, o 10:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 19 lis 2018, o 07:41

ale biore wzor na monotoniczność

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}\)
Ostatnio zmieniony 19 lis 2018, o 08:21 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: a4karo » 19 lis 2018, o 08:09

Przeciez to żaden wzór

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 19 lis 2018, o 10:38

Te dwie rzeczy:
sssebastianb5 pisze:ale biore wzor na monotoniczność

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}\)
sssebastianb5 pisze:b)
\(b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)! }{n!}\) i co dalej ??
nie mają ze sobą nic wspólnego. Używasz zupełnie dowolnie różnego rodzaju symboli i nawet jeśli masz jakiś sensowny plan, to jego realizacja zawodzi na całej linii. Matematyka wymaga precyzji i porządku w używaniu symboli i takich błędów nie wybacza. Gdybyś istotnie robił to, co piszesz, że robisz, to zacząłbyś tak:

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=...\)

I jeszcze uwaga techniczna - \(\LaTeX\) może sprawiać Ci problemy, ale musisz poświęcić mu więcej uwagi, bo masz już dwa ostrzeżenia. Jak piszesz wiadomość, to zanim ją wyślesz użyj funkcji "Podgląd" - jak to, co zobaczysz, nie będzie wyglądało właściwie, to wróć do edycji. I pooglądaj swoje posty poprawione przez moderację by zobaczyć, jaki jest właściwy wygląd.

JK

sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 19 lis 2018, o 10:58

Czyli moje rozwiązanie z zadania jest błędne i ten wynik co mi wyszedł nie mogę nic stwierdzić ??

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 19 lis 2018, o 11:24

Pomijając fatalny zapis, przekształcenia też są zupełnie błędne. Spróbuj jeszcze raz:

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=\frac{(n!)^2\cdot (n+1)^2}{(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)}\cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}=...\)

Tylko za każdym razem powinieneś wiedzieć, skąd bierze się kolejny wynik, także w tym, co napisałem powyżej (bo inaczej to nie ma sensu - dostaniesz inny przykład i polegniesz).

JK

sssebastianb5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Re: Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

Post autor: sssebastianb5 » 19 lis 2018, o 11:44

Dobra już chyba zaczailem , jak będę w domu zrobie punkt c , i jakbyś mógł potem rzucić okiem czy dobrze rozumuje i czy wynik jest poprawny

ODPOWIEDZ