Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \Omega := [0,1] \times [0,1]}\). Rozważamy sigma algebrę zbiorów borelowskich z miarą Lebesgue'a. Niech \(\displaystyle{ X(w)}\) oznacza odległość punktu od najbliższego rogu kwadratu w metryce maximum. Czy\(\displaystyle{ X(w)}\)jest zmienną losową?
Weźmy sobie punkt \(\displaystyle{ w=(w_1,w_2)}\). Korzystając z definicji miary Lebesgue'a zdefiniujmy sobie
\(\displaystyle{ X(w)= \inf \left\{ \max (w_1,w_2), \max (1-w_1,w_2), \max (1-w_1, 1-w_2), \max (w_1,1-w_2)\right\}}\). Można zauważyć, że \(\displaystyle{ X(w) \in [0,1/2]}\).
Teraz biorę sobie dowolny zbiór borelowski \(\displaystyle{ B \in [0,1/2]}\) i czy \(\displaystyle{ X^{-1}(B)}\) jest mierzalny?
Sądze, że tak. Ale jakoś trudno mi to formalnie uzasadnić.

Pierwszy sposób, to zauważyć że \(\displaystyle{ X}\) jest funkcją ciągłą, w szczególności mierzalną.

Drugi sposób
\(\displaystyle{ \{X>\alpha\} = \{\max(w_1, w_2)>\alpha\}\cap...\cap\{\max(w_1, 1-w_2)>\alpha\}}\)
Ale
\(\displaystyle{ \{\max(w_1, w_2)>\alpha\}=\{w_1>\alpha\}\cup\{w_2>\alpha\}}\), reszta analogicznie.
Więc \(\displaystyle{ \{X>\alpha\}}\) jest mierzalny dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) co pociąga za
sobą mierzalność \(\displaystyle{ X}\).