żS-2, od: Sylwek, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-2, od: Sylwek, zadanie 3

Post autor: Liga » 6 paź 2007, o 13:11

Sylwek pisze:a. \(\displaystyle{ \log_{\frac{2}{3}}\left({4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}\right)>0}\)

Najpierw zacznijmy od ustalenia dziedziny:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{2}{3}>0 \\ \frac{2}{3} \neq 0 \\ 4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}>0 \end{cases}}\)

Wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}: \ x \in (- \infty, -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3}, +\infty)}\)

Ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, to nasza nierówność jest równoważna danej:
\(\displaystyle{ \log_{\frac{2}{3}}\left({4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}\right)>\log_{\frac{2}{3}}\left({1}\right) \\ 1>4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}}\)

Rozwiązanie tej nierówności to: \(\displaystyle{ x (-4, 0)}\)

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy rozwiązanie zadania:
\(\displaystyle{ x (-4, -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3},0)}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ x (-4, -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3},0)}\)


b. \(\displaystyle{ log_{x}4+log_{2}x^2=5}\)

Dziedziną jest: \(\displaystyle{ \mathbb{D}: \ x (0,1) \cup (1, +\infty)}\)

Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu, a następnie podstawiamy \(\displaystyle{ log_{2}\left{x}\right=t}\):

\(\displaystyle{ \frac{log_{2}\left{4}\right}{log_{2}\left{x}\right}+2log_{2}\left{x}\right=5 \\ \frac{2}{t}+2t=5 \\ 2+2t^2=5t \\ 2t^2-5t+2=0 \\ (t-2)(2t-1)=0 \\ t=2 t=\frac{1}{2} \\ log_{2}\left{x}\right=\frac{1}{2} log_{2}\left{x}\right=2 \\ x=\sqrt{2} x=4}\)

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{2} x=4}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ x=\sqrt{2} x=4}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 19:55 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6502
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 3

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 paź 2007, o 22:21

okey 6 pkt

ODPOWIEDZ