żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: Liga » 6 paź 2007, o 13:11

Sylwek pisze:Wiemy, że istnieje dokładnie jeden taki wielomian, że:
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) V(x)}\)

Skoro W(x) jest wielomianem trzynastego stopnia, V(x) wielomianem drugiego stopnia, to Q(x) jest wielomianem jedenastego stopnia i iloczyn Q(x)*V(x) można przedstawić jako (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l należą do zbioru liczb całkowitych):
\(\displaystyle{ (x^{11}+bx^{10}+cx^9+dx^8+ex^7+fx^6+gx^5+hx^4+ix^3+jx^2+kx+l)(x^2-x+a)=x^{13}+x+90}\)

Po wymnożeniu:
\(\displaystyle{ x^{13}+x^{12}(-1+b)+x^{11}(a-b+c)+x^{10}(d-c+ab)+x^9(e-d+ac)+x^8(f-e+ad)+x^7(g-f+ae)+x^6(h-g+af)+x^5(i-h+ag)+x^4(j-i+ah)+x^3(k-j+ai)+x^2(l-k+aj)+x(-l+ak)+al=x^{13}+x+90}\)

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe. Układamy więc taki banalny układ równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases}-1+b=0 \\ a-1+c=0 \\ d-c+a=0 \\ e-d+ac=0 \\ f-e+ad=0 \\ g-f+ae=0 \\ h-g+af=0 \\ i-h+ag=0 \\ j-i+ah=0 \\ k-j+ai=0 \\ l-k+aj=0 \\ -l+ak=1 \\ a l=90 \end{cases}}\)

Metodą podstawiania dochodzimy do momentu, że:
\(\displaystyle{ a^7-15a^6+35a^5-28a^4+9a^3-a^2+a+90=0}\)

Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu łatwo można sprawdzić, że poszukiwanymi całkowitymi rozwiązaniami tego równania są a=-1 i a=2.

Odpowiedź: Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{13}+x+90}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-x+a}\) dla \(\displaystyle{ a=-1 a=2}\).
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 19:56 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: Tristan » 6 paź 2007, o 14:23

Rozwiązanie dość "brute force", ale w pełni poprawe. Czyli 5/5.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6470
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2586 razy
Pomógł: 683 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 paź 2007, o 22:19

a=-1 nie!
cos trza uciac....

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: bolo » 7 paź 2007, o 23:24

Czyli...?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: scyth » 8 paź 2007, o 00:21

Ja bym proponował 4/5 - pomylił się chyba w wyznaczaniu wielomianu (mógł też sprawdzić rozwiązanie...).

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: bolo » 8 paź 2007, o 00:23

Za moment wstawię do przyklejonego tematu rozwiązanie, które otrzymałem.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6470
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2586 razy
Pomógł: 683 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: mol_ksiazkowy » 8 paź 2007, o 10:25

:arrow: wg mnie ...3 pkt/5. Troszke jest niedociagniec.ps a=-1 mozna np odrzucic wg: jesliby \(\displaystyle{ W(x)=(x^-x-1)R(x)}\), to \(\displaystyle{ =r\frac{1+\sqrt{5}}{2} >0}\), V(r)=0, tj W(r)=0, ale sprz...\(\displaystyle{ W(x) \geq 0}\) dla x>0

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: Tristan » 8 paź 2007, o 15:10

Wybaczcie niedopatrzenie Skłaniałbym się jednak do 4/5.

ODPOWIEDZ