Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Big_Boss1997 » 17 lis 2018, o 21:12

Jak w tym przykładzie sprawdzić, czy ciąg jest ograniczony z góry (bez liczenia granicy przy \(n \rightarrow \infty\)) ?

\(\left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: a4karo » 17 lis 2018, o 21:16

Pomnoż przez \(1-\frac12\)

Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Big_Boss1997 » 17 lis 2018, o 22:17

a4karo, przepraszam. Nie rozumiem o co chodzi z tym mnożeniem.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24925
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Jan Kraszewski » 17 lis 2018, o 22:21

A pomnożyłeś?

\(\left( 1-\frac12\right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=\left( 1-\frac{1}{2^2}\right) \cdot\left( 1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=...\)

JK

Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Big_Boss1997 » 17 lis 2018, o 22:41

Jan Kraszewski, ok, nie zauważyłem tego wcześniej.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Dasio11 » 18 lis 2018, o 09:35

Ok, ale

\(\left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right)\)

i co z tym?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: a4karo » 18 lis 2018, o 10:21

No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14139
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Premislav » 18 lis 2018, o 10:42

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le \left( \frac{\left( 1+\frac 1 2\right)+\ldots+\left( 1+\frac{1}{2^n}\right) }{n} \right)^n <\left( \frac{n+1}{n}\right)^n\)
a znany jest fakt, że to ostatnie zbiega do \(e\) (jak nie chcesz korzystać z tej ostatniej granicy, to ogranicz \(\left( \frac{n+1}{n}\right)^n\) z góry przez \(3\)).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24925
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lis 2018, o 12:16

a4karo pisze:No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...
A ja nie zauważyłem, że a4karo nie zauważył. Sorry... Na szczęście Dasio11 zawsze czuwa.

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14139
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?

Post autor: Premislav » 18 lis 2018, o 20:39

Ponieważ nie każdy zna nierówności między średnimi (acz polecam je poznać!), to pozwolę sobie dodać jeszcze jedno rozwiązanie:
skorzystamy ze znanej nierówności \(1+x\le e^x\) (tutaj zawsze będzie \(x>0\), więc nierówność będzie nawet ostra, ale to szczegół):
ustalmy dowolne \(n\in \NN^+, n>1\). Wtedy na mocy wspomnianej nierówności:
\(1+\frac 1 2\le e^{\frac 1 2}\\1+\frac 1 4\le e^{\frac 1 4}\\\ldots \\ \ldotds 1+\frac{1}{2^n}\le e^{\frac{1}{2^n}}\)
Mnożymy tych \(n\) nierówności stronami (możemy tak zrobić, gdyż w każdej nierówności obie strony są dodatnie) i mamy
\(\left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le e^{\frac 1 2+\ldots+\frac{1}{2^n}}<e\)
Ostatnia nierówność wynika z tego, że \(e^x\) jest funkcją rosnącą i że \(\frac 1 2+ \ldots+\frac{1}{2 ^{n}}<1\) dla dowolnego \(n\in \NN^+\).

ODPOWIEDZ