Matematyka.pl

Udowodnij, że
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN, n \ge 2 : \left( n! \right) ^2 < \left( \frac{ \left( n+1 \right) \left( 2n+3 \right) }{6} \right) ^n}\)
? Nic mi nie wychodzi, chociaż jakaś podopowiedź?

A musi być indukcją? Pewnie się da ale łatwiej jest skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Bo mamy

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot ... \cdot n^2} \le \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}<\frac{(n+1)(2n+3)}{6}}\)

A to po podniesieniu do \(\displaystyle{ n}\) tej potęgi kończy zadanie

\(\displaystyle{ (n!)^2<\left( \frac{(n+1)(2n+3)}{6}\right)^n}\)

Janusz Tracz pisze: \(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}\)

nie rozumiem skąd ta równość? widzę, że działa i pewnie to głupie pytanie, ale skąd się wzięła?
Tak wgl dziękuję bardzo

To znany wzór na sumę kwadratów liczb naturalnych

To akurat łatwo udowodnić indukcyjnie co polecam jako zadanie. Ale są też inne nieindukcyjne dowody. Przykładowo metodą zaburzeń zobacz to. Na forum znajdziesz też jeszcze inne dowody wiem że stosunkowo niedawno po raz kolejny pojawił się temat tej sumy i sam nawet udzielałem jednej odpowiedzi a teraz nie mogę tego znaleźć... Jak poszukasz pod hasłem "suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych" to na pewno coś znajdziesz. Mimo wszystko równość polecam udowodnić indukcyjnie jest zdecydowanie najprościej.-- 17 lis 2018, o 16:56 --

\(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}\)

nie rozumiem skąd ta równość? widzę, że działa i pewnie to głupie pytanie, ale skąd się wzięła?

Nie to nie jest złe pytanie to jest dobre pytanie. Znalazłem to czego szukałem. Pod tym linkiem znajdziesz obszerną odpowiedź czemu zachodzi taka równość KLIK

Indukcyjnie można to rzeczywiście łatwo udowodnić(tą na postać zwartą sumy kwadratów, nie tą z zadania). Dorzucę też link do tematu:

258562.htm

Ps. Fajna lokalizacja i fajny nick, w końcu się zarejestrowałaś xD