Udowodnij, że funkcja jest okresowa i znajdź jej okres

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Intact
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 10 gru 2006, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 27 razy

Udowodnij, że funkcja jest okresowa i znajdź jej okres

Post autor: Intact » 6 paź 2007, o 11:21

mam taką funkcję:

\(\displaystyle{ h(x)=\sqrt[4]{tg(\frac{x}{3})}}\)

jak w temacie muszę udowodnić, że jest ona okresowa i policzyć jej okres.

Proszę o pomoc z wyjaśnieniem lub naprowadzenie na sposób rozwiązania. nie o samą gotową odpowiedź:)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Udowodnij, że funkcja jest okresowa i znajdź jej okres

Post autor: Tristan » 6 paź 2007, o 13:37

Skoro funkcja ma być okresowa, to ma zachodzić \(\displaystyle{ h(x)=h(x+T)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ T \in \mathbb{R}_{+}}\). Z tego równania wynika, że ma zachodzić \(\displaystyle{ \tan ( \frac{x+T}{3} )= \tan ( \frac{ x}{3} )}\). Korzystając z wzoru na tangens sumy argumentów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{ \tan \frac{x}{3} + \tan \frac{T}{3} }{ 1 - \tan \frac{x}{3} \tan \frac{T}{3} }= \tan (\frac{x}{3}) \\ \tan \frac{x}{3} + \tan \frac{T}{3} = \tan \frac{x}{3} - \tan^2 \frac{x}{3} \tan \frac{T}{3} \\ \tan \frac{T}{3} + \tan^2 \frac{x}{3} \tan \frac{T}{3}=0 \\ \tan \frac{T}{3} ( 1+ \tan^2 \frac{x}{3} )=0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ 1+ \tan^2 \frac{x}{3} \geq 1 >0}\), więc ma zachodzić \(\displaystyle{ \tan \frac{T}{3} =0}\). Czyli \(\displaystyle{ \frac{T}{3}=k \pi}\), gdzie k jest naturalne. Okresem podstawowym jest więc najmniejsza dodatnia wartość, która zachodzi dla k=1. Czyli \(\displaystyle{ T=3 \pi}\).

Intact
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 10 gru 2006, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 27 razy

Udowodnij, że funkcja jest okresowa i znajdź jej okres

Post autor: Intact » 6 paź 2007, o 13:46

Super. wiedziałem jak to rozwiązać ale nie algebraicznie. Dzięki jeszcze raz

ODPOWIEDZ