Znajdź wyrażenie określające masę

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Znajdź wyrażenie określające masę

Post autor: fluffiq » 13 lis 2018, o 13:46

Zbiornik początkowo zawiera \(120\) litrów czystej wody. Mieszanina zawierająca
\(25\) gramów soli w \(1\)-litrze wlewana jest do zbiornika z prędkością \(2 \text{litrow}/\text{min}\), błyskawicznie wymieszana mieszanina opuszcza zbiornik z tą samą prędkością.

Znajdź wyrażenie określające masę \(m(t)\) soli w zbiorniku w dowolnym czasie \(t\).
Ponadto oblicz

\(\lim_{t \rightarrow \infty } m(t).\)
Ostatnio zmieniony 13 lis 2018, o 13:58 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Re: Znajdź wyrażenie określające masę

Post autor: fluffiq » 26 lis 2018, o 21:59

\(m'(t) = v \frac{m_{1}}{1} - v\frac{m(t)}{V}\)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych i po rozdzieleniu zmiennych
otrzymujemy:

\(\frac{dm}{Vm_1 -m} = \frac{v}{V}dt\)

Obustronnie całkujemy i otrzymujemy:

\(-ln|Vm_1 - m | = \frac{v}{V}t + lnC\)


Przekształcamy i otrzymujemy:

\(m(t) = Vm_1 - \frac{1}{C}e^{\frac{vt}{V}\)

Obliczamy warunek poczatkowy \(m(0) = m_0\), obliczamy stała\(C = \frac{1}{Vm_1-m_0}\)

\(m(t) = Vm_1 - (Vm_1 - m_0)e^{\frac{vt}{V}\)
Podstawiamy zmienne:


\(m_0 = 0.025\)kg

\(m_1 = \frac{0.025}{120} = 0.00020833333\) gdzie, \(m_1\) oznacza ile [kg] soli przypada na 1 litr roztworu

\(V = 120\)

\(v = 2\frac{m}{s}\)

\(m(t) = 120*0.00020833333 - (120*0.00020833333 - 0.025)e^{\frac{2t}{120}\)

\(m(t) = 0.0249999996 +0,00000000040000000187113e^{\frac{t}{60}\)


\(\lim_{t \rightarrow \infty } m(t) = 0.0249999996 +0,00000000040000000187113e^{\frac{t\rightarrow\infty}{60} = \infty\) ?

ODPOWIEDZ