Równanie Bernulliego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równanie Bernulliego

Post autor: fluffiq » 13 lis 2018, o 13:42

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne poniższych równań Bernulliego lub szczególne jeżeli podany jest warunek początkowy. Jeżeli jest to możliwe podać rozwiązanie
w postaci jawnej

\(y' = y^{2}e^{x} - y\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14144
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Równanie Bernulliego

Post autor: Premislav » 13 lis 2018, o 15:59

Podzielmy równanie stronami przez \(y^2\), a otrzymamy
\(\frac{y'}{y^2}=e^x-\frac 1 y\)
Podstawmy teraz \(z(x)=-\frac 1 y\) i mamy równanie
\(z'-z=e^x\), które możemy rozwiązać tak:
równanie jednorodne \(z'-z=0\) ma rozwiązanie postaci \(z_j(x)=C\cdot e^x\)
Teraz używamy metody wariacji parametru, tj. niech \(C:=C(x)\) i wstawiamy to do równania niejednorodnego
\(z'-z=e^x\).
Otrzymujemy
\(C'(x)e^x=e^x\\ C'(x)=1\\ C(x)=x+A\).
Otrzymaliśmy zatem dla dowolnej stałej \(A\) rozwiązanie równania niejednorodnego
\(z'-z=e^x\)
postaci
\(z(x)=(x+A)e^x\)
czyli
\(y=-\frac{1}{z}=-\frac{e^{-x}}{x+A}\)
gdzie \(A\) to dowolna stała.
Jest jeszcze taka pułapka, że funkcja stale równa zero też spełnia to równanie, a dla niej nie możemy sobie tak podzielić itd.

ODPOWIEDZ