Ile jest wyników takiego doświadczenia

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
falupe94p4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 11 lis 2018, o 17:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Ile jest wyników takiego doświadczenia

Post autor: falupe94p4 » 11 lis 2018, o 17:52

Rzucamy \(25\) razy sześcienną kostką. Ile jest takich wyników doświadczenia w których wyrzucimy dokładnie \(5\) szóstek \(3\) piątki i \(6\) dwójek.
Moim tokiem rozumowania \(14\) wyników rzutów kostki jest już zarezerwowane więc zostaje \(11\).
Każdy z tych \(11\) ma po \(3\) możliwości czyli \(3 \cdot 11\). Łącznie jest \(25\) rzutów. Przy pierwszym rzucie możemy wylosować jeden z tych \(25\) przy drugim \(24\) itd. Czyli mój wynik zakłada \(3 \cdot 11 \cdot 25!\) Aczkolwiek wiem iż prawidłowa odpowiedź jest zupełnie inna. Czy ktoś mógłby mnie wyprowadzić z błędu, objaśniając co robię źle i wyjaśnić prawidłową odpowiedź?
Ostatnio zmieniony 11 lis 2018, o 19:34 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj LaTeX-a do wszystkich wyrażeń matematycznych.

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3040
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice

Re: Ile jest wyników takiego doświadczenia

Post autor: loitzl9006 » 11 lis 2018, o 19:48

Każdy z jedenastu rzutów ma trzy możliwości - takie coś uwzględniamy nie jako \(3\cdot 11\), tylko \(\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot ... \cdot 3}_{11 \ razy} = 3^{11}\). Wyjaśnienie: w pierwszym rzucie możemy uzyskać wynik na \(3\) sposoby, w drugim też \(3\), w trzecim też \(3\), w czwartym też \(3\), itd. aż do jedenastego rzutu.

Poprawne wg mnie rozwiązanie to \({25 \choose 5} \cdot {20 \choose 3} \cdot {17 \choose 6} \cdot 3^{11}\)

Wyjaśnienie: wybieramy najpierw pięć miejsc z \(25\) dla szóstek, robimy to na \({25 \choose 5}\) sposobów
zostało \(20\) wolnych miejsc, wybieramy \(3\) z nich dla piątek na \({20 \choose 3\) sposobów
zostało \(17\) wolnych miejsc, wybieramy \(6\) z nich dla dwójek na \({17 \choose 6}\) sposobów
zostało \(11\) wolnych miejsc, w każdym z nich możemy uzyskać wynik na \(3\) sposoby, tzn może wypaść jedynka, trójka lub czwórka, stąd \(3^{11}\) (wyjaśnienie na początku posta).

ODPOWIEDZ